Système de congruences

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (MP/MPI), chapitre 1 — Structures algébriques usuelles · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Résoudre le système : $x \equiv 2 [7]$ et $x \equiv 5 [11]$ .

Corrigé

$7 \land 11 = 1$ : le théorème chinois garantit une unique solution modulo $77$ . Bézout : $7 \times 8 - 11 \times 5 = 56 - 55 = 1$ , d'où les « interrupteurs » $56 \equiv 1 [11], \equiv 0 [7]$ et $- 55 \equiv 1 [7], \equiv 0 [11]$ : $x_{0} = 2 \times (- 55) + 5 \times 56 = - 110 + 280 = 170 \equiv 16 [77] .$ $x \equiv 16 [77] .$ (Contrôle : $16 = 2 \times 7 + 2 \equiv 2 [7]$ ✓, $16 = 11 + 5 \equiv 5 [11]$ ✓.)

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