mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Tout anneau intègre fini est un corps

Structures algébriques usuelles · C. $Z / n Z$ , théorème chinois, Euler · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A$ un anneau commutatif intègre et fini.

a) Soit $a \in A$ non nul. Montrer que $m_{a} : x \mapsto a x$ est injective, donc bijective, et en déduire que $a$ est inversible.

b) Conclure : tout anneau commutatif intègre fini est un corps. Retrouver ainsi, sans calculer aucun inverse, que $Z / p Z$ est un corps pour $p$ premier.

c) Où l'hypothèse de finitude est-elle indispensable ? Donner un anneau intègre infini qui n'est pas un corps, et dire lequel des deux arguments du a) tombe.

d) La réciproque est-elle vraie : un anneau fini qui est un corps est-il intègre ?

Corrigé de la question 1

La stratégie, et les outils. Elle tient en une phrase : l'intégrité fournit l'injectivité, la finitude la convertit en surjectivité, et la surjectivité donne un antécédent de $1$ , c'est-à-dire un inverse. On n'utilise que la définition d'un anneau intègre (commutatif, $1 \neq = 0$ , sans diviseur de zéro) et le principe des tiroirs : une application injective d'un ensemble fini dans lui-même est bijective.

a) De l'injectivité à l'inversibilité. Soit $a \neq = 0$ et $m_{a} : A \to A$ , $x \mapsto a x$ .

Injectivité. Si $a x = a x^{'}$ , alors $a (x - x^{'}) = 0$ ; comme $A$ est intègre et $a \neq = 0$ , il vient $x = x^{'}$ . L'intégrité, c'est exactement la simplifiabilité par un élément non nul.

Bijectivité. $m_{a}$ est injective de l'ensemble fini $A$ dans lui-même, donc bijective.

Inversibilité. La surjectivité appliquée à $1$ fournit $b$ tel que $ab = 1$ ; la commutativité donne aussi $ba = 1$ . Donc $a$ est inversible.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Conclure : tout anneau commutatif intègre fini est un corps. Retrouver ainsi, sans calculer aucun inverse, que $Z / p Z$ est un corps pour $p$ premier.

Élève

$Z / p Z$ est fini et commutatif ; pour appliquer le a), il faut qu'il soit intègre. Mais je ne vois pas comment le montrer sans revenir à Bézout, ce que l'énoncé semble vouloir éviter.

Traduis $a b = 0$ en une divisibilité dans $Z$ : quel résultat sur les nombres premiers permet alors de conclure ?

Élève

$p$ divise $ab$ , donc par le lemme d'Euclide $p$ divise $a$ ou $b$ . Mais le lemme d'Euclide se démontre lui-même avec Bézout.

C'est exact. Alors, par rapport à la preuve habituelle qui exhibe l'inverse de $k$ , qu'est-ce que cet argument évite réellement ? Et pour parler de corps, as-tu vérifié toutes les conditions de la définition, y compris $1 \neq = 0$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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