Tout anneau intègre fini est un corps

La stratégie, et les outils. Elle tient en une phrase : l'intégrité fournit l'injectivité, la finitude la convertit en surjectivité, et la surjectivité donne un antécédent de $1$, c'est-à-dire un inverse. On n'utilise que la définition d'un anneau intègre (commutatif, $1\ne 0$, sans diviseur de zéro) et le principe des tiroirs : une application injective d'un ensemble fini dans lui-même est bijective.

a) De l'injectivité à l'inversibilité. Soit $a\ne 0$ et $m_a:A\to A$, $x\mapsto ax$.

Injectivité. Si $ax=a{x}^{\prime }$, alors $a(x-x^{\prime })=0$ ; comme $A$ est intègre et $a\ne 0$, il vient $x=x^{\prime }$. L'intégrité, c'est exactement la simplifiabilité par un élément non nul.

Bijectivité. $m_a$ est injective de l'ensemble fini $A$ dans lui-même, donc bijective.

Inversibilité. La surjectivité appliquée à $1$ fournit $b$ tel que $ab=1$ ; la commutativité donne aussi $ba=1$. Donc $a$ est inversible.

b) Conclusion, et le cas de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. $A$ est commutatif avec $1\ne 0$, et tout élément non nul y est inversible : c'est la définition d'un corps.

Application. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est commutatif, fini de cardinal $p\ge 2$, et intègre : si $\overline{a}\overline{b}=\overline{0}$, alors $p\mid ab$, donc $p\mid a$ ou $p\mid b$ par le lemme d'Euclide. Le théorème s'applique : $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps, noté ${\mathbb{F}}_p$.

Le point délicat, et il faut être honnête. Bézout n'a pas disparu de la démonstration : il reste en amont, dans le lemme d'Euclide. Ce qui disparaît, c'est le calcul de l'inverse par l'algorithme d'Euclide étendu. La preuve du cours construit $u$ tel que $uk\equiv 1$ ; celle-ci se contente de prouver qu'il existe, par un argument de cardinal. L'une est effective, l'autre est structurelle — et c'est la structurelle qui se généralise à tout anneau intègre fini.

c) La finitude est indispensable. $\mathbb{Z}$ est intègre, infini, et n'est pas un corps : $2$ n'y est pas inversible. L'application $m_2:x\mapsto 2x$ est pourtant bel et bien injective — l'intégrité n'est pas en cause — mais elle n'est pas surjective, son image étant $2\mathbb{Z}$. C'est le second argument, « injective $\Rightarrow$ bijective », qui s'effondre : il est faux sur un ensemble infini.

d) La réciproque. Oui, et la finitude n'y sert même pas : tout corps est intègre. Si $xy=0$ avec $x\ne 0$, alors $y=x^{-1}(xy)=0$. Pour les anneaux commutatifs finis, on a donc l'équivalence : $A$ intègre $⟺$ $A$ est un corps.

Ce que l'exercice installe. Le geste « en cardinal fini, injectif entraîne surjectif » est l'un des plus rentables de la prépa. On vient de l'utiliser pour transformer l'intégrité en inversibilité ; le cours l'utilise pour la surjectivité du morphisme chinois, entre deux ensembles de même cardinal $mn$ ; l'algèbre linéaire l'utilisera sous la forme « en dimension finie, un endomorphisme injectif est bijectif ». La même idée, trois habillages.