$(X^n-1)\wedge (X^m-1)=X^{n\wedge m}-1$, par les idéaux

La stratégie, et les outils. On ne calcule rien : on montre une double inclusion d'idéaux, l'une par divisibilité élémentaire, l'autre en faisant tourner l'algorithme d'Euclide sur les exposants, chaque étape laissant l'idéal inchangé. Outil unique : le théorème du cours selon lequel $A\mathbb{K}[X]+B\mathbb{K}[X]$ est engendré par un unique polynôme unitaire, qui est par définition le PGCD de $A$ et $B$.

a) L'idéal et son générateur. Une somme de deux idéaux est un idéal : c'est un sous-groupe additif, et il est absorbant car $P\left(AU+BV\right)=A(PU)+B(PV)$. Comme $X^n-1$ et $X^m-1$ ne sont pas tous deux nuls, le théorème du cours donne $I(n,m)=G\mathbb{K}[X]$ avec $G$ unitaire unique, et $G$ est le PGCD. Il s'agit donc de montrer $G=X^d-1$.

b) Première inclusion. Si $n=dq$, alors, avec $Y=X^d$, $$X^n-1=Y^q-1=(Y-1)\left(Y^{q-1}+\cdots +Y+1\right)=\left(X^d-1\right)\sum _{j=0}^{q-1}{X}^{dj}.$$ Donc $X^d-1$ divise $X^n-1$, et de même $X^m-1$ puisque $d\mid m$. Tout élément $\left(X^n-1\right)U+\left(X^m-1\right)V$ de $I(n,m)$ est donc un multiple de $X^d-1$ : $$I(n,m)\subset \left(X^d-1\right)\mathbb{K}[X].$$

c) L'étape d'Euclide sur les exposants. Soit $n>m\ge 1$. L'identité clef est $$X^n-1=X^{n-m}\left(X^m-1\right)+\left(X^{n-m}-1\right),$$ qu'on vérifie en développant : $X^n-X^{n-m}+X^{n-m}-1=X^n-1$ ✓.

• Elle montre que $X^{n-m}-1=\left(X^n-1\right)-X^{n-m}\left(X^m-1\right)\in I(n,m)$ ; comme $X^m-1\in I(n,m)$, il vient $I(n-m,m)\subset I(n,m)$.
• Elle montre aussi que $X^n-1$ est combinaison de $X^m-1$ et $X^{n-m}-1$, donc $I(n,m)\subset I(n-m,m)$.

Les deux idéaux sont égaux.

d) La récurrence. Montrons par récurrence forte sur $n+m$ que $I(n,m)=\left(X^{n\wedge m}-1\right)\mathbb{K}[X]$.

Cas $n=m$. $I(n,n)=\left(X^n-1\right)\mathbb{K}[X]$ et $n\wedge n=n$ : c'est vrai.

Hérédité. Soit $n\ne m$ ; quitte à échanger les rôles (idéal et PGCD sont symétriques), supposons $n>m$. D'après le c), $I(n,m)=I(n-m,m)$, où le couple $(n-m,m)$ a une somme strictement plus petite et vérifie $(n-m)\wedge m=n\wedge m=d$. L'hypothèse de récurrence conclut. La somme des exposants décroissant strictement et les entrées restant $\ge 1$, on atteint le cas $n=m$ en un nombre fini de pas — c'est l'algorithme d'Euclide par soustractions successives. Le générateur unitaire de $I(n,m)$ est donc $X^d-1$ : $$\left(X^n-1\right)\wedge \left(X^m-1\right)=X^{n\wedge m}-1.$$

e) La lecture par les racines, et un contrôle.

Sur $\mathbb{C}$. Le polynôme $X^n-1$ a pour racines exactement les éléments du groupe ${\mathbb{U}}_n$, et ces racines sont simples (elles sont $n$, pour un polynôme de degré $n$) ; de même pour $X^m-1$. Le PGCD de deux polynômes scindés à racines simples est le polynôme unitaire dont les racines sont les racines communes. Or, pour $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, l'ensemble $\left\{j\in \mathbb{Z}:z^j=1\right\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$, donc égal à $\mathrm{ord}(z)\mathbb{Z}$ ; ainsi $$z\in {\mathbb{U}}_n\cap {\mathbb{U}}_m⟺\mathrm{ord}(z)\mid n\text{ et }\mathrm{ord}(z)\mid m⟺\mathrm{ord}(z)\mid d⟺z\in {\mathbb{U}}_d,$$ et le PGCD vaut ${\prod }_{z\in {\mathbb{U}}_d}(X-z)=X^d-1$.

⚠️ Un point à ne pas escamoter. Ce second raisonnement se fait dans $\mathbb{C}[X]$ alors que l'énoncé porte sur $\mathbb{K}[X]$. Il n'y a pas de contradiction, parce que le PGCD ne change pas quand on agrandit le corps : l'algorithme d'Euclide ne fait que des divisions euclidiennes, dont quotients et restes ont leurs coefficients dans le corps de départ.

Contrôle numérique. $n=12$, $m=8$, $d=4$. L'algorithme sur les exposants : $(12,8)\to (4,8)\to (4,4)$, donc le PGCD est $X^4-1$. Par les racines : ${\mathbb{U}}_{12}\cap {\mathbb{U}}_8={\mathbb{U}}_4=\{1,i,-1,-i\}$ et ${\prod }_{z\in {\mathbb{U}}_4}(X-z)=X^4-1$ ✓. Par divisibilité : $X^{12}-1=\left(X^4-1\right)\left(X^8+X^4+1\right)$ et $X^8-1=\left(X^4-1\right)\left(X^4+1\right)$, les deux cofacteurs n'ayant aucune racine commune.

Ce que l'exercice installe. Le PGCD est le générateur de la somme de deux idéaux : cette définition, qui paraît abstraite, est un outil de calcul, car une somme d'idéaux se manipule par inclusions et ne demande aucune division. Retenez aussi le geste central : quand deux objets sont indexés par des entiers, on fait tourner l'algorithme d'Euclide sur les indices, en vérifiant à chaque pas qu'on ne change pas l'objet.