Cas non diagonalisable en dimension 2

$A=2I+N$ avec $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ nilpotente ($N^2=0$), et $2I$ commute avec $N$ : $$e^{tA}=e^{2tI}{e}^{tN}=e^{2t}(I+tN)=e^{2t}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right),X(t)=e^{2t}\left(\begin{array}{c}{x}_0+t{y}_0\\ y_0\end{array}\right).$$ (Le schéma « $\lambda I+N$ » du chapitre 2 : l'exponentielle d'une nilpotente est un polynôme. Noter le facteur $t$ : dans le cas non diagonalisable apparaissent des solutions polynôme $\times$ exponentielle — l'analogue du $t{e}^{\lambda t}$ des racines doubles de première année.)