mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 10 · Application directe du cours

De l'ordre 2 au système

Équations différentielles linéaires · Niveau ★ — application directe du cours · niveau 1 (application)

Énoncé

Écrire $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ sous forme de système $X^{'} = A X$ , vérifier que le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme caractéristique « usuel » de l'équation, et retrouver la solution générale.

Corrigé

Avec $X = (y, y^{'})$ : $X^{'} = (0 - 2 13) X$ , matrice compagnon de $T^{2} - 3 T + 2$ — et en effet $χ_{A} = T^{2} - 3 T + 2 = (T - 1) (T - 2)$ (chapitre 2 : le caractéristique d'une compagnon est le polynôme qu'elle accompagne). Valeurs propres $1$ et $2$ , donc solutions $y (t) = λ e^{t} + μ e^{2 t}$ : l'équation caractéristique de première année est le spectre du système compagnon, et la dimension $2$ de l'espace des solutions est celle promise par le théorème de Cauchy.

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