Étude qualitative complète d'un système

$A$ est symétrique (théorème spectral, chapitre 3) : $\mathrm{Sp}(A)=\{0,-2\}$ avec vecteurs propres $v_1=(1,1)$ (pour $0$) et $v_2=(1,-1)$ (pour $-2$). Si $X_0=c_1{v}_1+c_2{v}_2$ : $$X(t)=c_1{v}_1+c_2{e}^{-2t}{v}_2\underset{t\to +\infty }{\to }{c}_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),c_1=\frac{x_0+y_0}{2}.$$ Interprétation : $x+y$ est conservé ($(x+y{)}^{\prime }=0$, conséquence de la valeur propre $0$), et la différence $x-y$ s'amortit en $e^{-2t}$ : les deux compartiments s'équilibrent vers la moyenne $\frac{x_0+y_0}{2}$ — c'est la dynamique d'un mélange (deux cuves reliées, deux corps en contact thermique). Toute la droite $\{x=y\}$ est faite de points d'équilibre, atteints le long des directions $v_2$. (Quand $0$ est valeur propre, les solutions ne tendent pas vers l'origine mais vers le sous-espace propre associé : la « stabilité » se lit toujours sur le spectre, mais la limite dépend de la condition initiale.)