L'exponentielle par intérêts composés

La stratégie : le binôme, puis un découpage de la somme. $I_p$ et $\frac{A}{n}$ commutent, donc le binôme de Newton transforme $(I_p+\frac{A}{n}{)}^n$ en une somme finie de puissances de $A$, à comparer terme à terme avec $e^A={\sum }_k\frac{A^k}{k!}$. Chaque coefficient tend bien vers $\frac{1}{k!}$ — mais il y en a un nombre croissant avec $n$, ce qui interdit de passer à la limite terme à terme. C'est une domination uniforme en $n$ qui rendra l'échange licite.

Le cadre. On munit ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{C})$ d'une norme d'algèbre, c'est-à-dire sous-multiplicative : $\Vert MN\Vert \le \Vert M\Vert \Vert N\Vert$, d'où $\Vert A^k\Vert \le \Vert A{\Vert }^k$. Toutes les normes y sont équivalentes (dimension finie, chapitre 4) : la convergence ne dépend pas du choix. On pose $a=\Vert A\Vert$.

1) Le binôme. $${\left(I_p+\frac{A}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{A^k}{n^k}=\sum _{k\ge 0}{c}_{n,k}{A}^k,c_{n,k}=\frac{1}{n^k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(k\le n),c_{n,k}=0(k>n),$$ où $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ est le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ ».

2) Limite et domination des coefficients. Pour $0\le k\le n$, $$c_{n,k}=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!n^k}=\frac{1}{k!}\prod _{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right),$$ produit de $k$ facteurs tous compris entre $0$ et $1$. On en tire deux renseignements :

• domination : $0\le c_{n,k}\le \frac{1}{k!}$ pour tous $n$ et $k$ (vrai aussi pour $k>n$, où $c_{n,k}=0$) ;
• limite à $k$ fixé : chacun des $k$ facteurs tend vers $1$, donc $c_{n,k}\to \frac{1}{k!}$.

3) Majoration de l'écart. La série ${\sum }_k\frac{A^k}{k!}$ converge absolument puisque ${\sum }_k\frac{a^k}{k!}=e^a$ ; c'est la définition de $e^A$. Par inégalité triangulaire, $$\Vert {\left(I_p+\frac{A}{n}\right)}^n-e^A\Vert =\Vert \sum _{k\ge 0}(c_{n,k}-\frac{1}{k!})A^k\Vert \le \sum _{k\ge 0}\left|c_{n,k}-\frac{1}{k!}\right|a^k.$$

4) Le découpage, cœur de la démonstration. Les deux nombres $c_{n,k}$ et $\frac{1}{k!}$ sont dans $[0,\frac{1}{k!}]$, donc $|c_{n,k}-\frac{1}{k!}|\le \frac{2}{k!}$ pour tous $n,k$. Soit $\epsilon >0$. La série ${\sum }_k\frac{2a^k}{k!}=2e^a$ converge, donc il existe $K$ tel que ${\sum }_{k>K}\frac{2a^k}{k!}<\frac{\epsilon }{2}$. $K$ est désormais fixé, indépendamment de $n$ : c'est tout le bénéfice de la domination uniforme. Reste ${\sum }_{k=0}^K|c_{n,k}-\frac{1}{k!}|a^k$, somme d'un nombre fini de termes tendant chacun vers $0$ par le 2) : elle tend vers $0$, donc il existe $N$ tel que pour $n\ge N$ elle soit $<\frac{\epsilon }{2}$. Pour $n\ge N$, l'écart total est $<\epsilon$. Comme $\epsilon$ est arbitraire, $${\left(I_p+\frac{A}{n}\right)}^n\underset{n\to +\infty }{\to }{e}^A.$$

Le point délicat : le nombre de termes dépend de $n$. On ne peut pas dire « chaque terme tend vers $\frac{A^k}{k!}$, donc la somme tend vers $e^A$ » — ce raisonnement donnerait $(1+\frac{1}{n}{)}^n\to 1$ parce que chaque facteur tend vers $1$, ce qui est faux. Ce qui rend l'échange légitime est la domination $c_{n,k}\le \frac{1}{k!}$, valable pour tous les $n$ à la fois : elle rend la queue petite uniformément, donc permet de se ramener à un nombre fixe de termes, où la convergence simple suffit.

Contrôle chiffré. Prenons $A=\left(\begin{array}{cc}0& -\pi /2\\ \pi /2& 0\end{array}\right)$, générateur des rotations : $e^A$ est la rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$, soit $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. La matrice $(I_2+\frac{A}{n}{)}^n$ reste de la forme $\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_n& -{\beta }_n\\ {\beta }_n& {\alpha }_n\end{array}\right)$, et l'on doit voir ${\alpha }_n\to 0$, ${\beta }_n\to 1$ : pour $n=10$, ${\alpha }_n=0,014381$ et ${\beta }_n=1,129519$, écart $1,30\cdot 10^{-1}$ ; pour $n=100$, $0,000131$ et $1,012412$, écart $1,24\cdot 10^{-2}$ ; pour $n=1000$, $0,000001$ et $1,001234$, écart $1,23\cdot 10^{-3}$. L'écart est divisé par $10$ quand $n$ est multiplié par $10$ : la convergence est en $\frac{1}{n}$. On peut la calculer exactement : avec $\theta =\frac{\pi }{2}$, $I_2+\frac{A}{n}=\rho R(\phi )$ où $\rho =\sqrt{1+\frac{{\theta }^2}{n^2}}$ et $\phi =\arctan \frac{\theta }{n}$, donc $(I_2+\frac{A}{n}{)}^n={\rho }^{n}R(n\phi )$ avec $n\phi \to \theta$ et, en $n=1000$, ${\rho }^{1000}=1,0012345$ — soit exactement l'écart mesuré, qui vaut $\frac{{\theta }^2}{2n}=1,234\cdot 10^{-3}$.

Ce que l'exercice installe. Une technique — échanger une limite et une somme infinie exige une domination indépendante du paramètre — et un fait : la formule des intérêts composés vaut mot pour mot pour les matrices. $I+hA$ est exactement le pas du schéma d'Euler explicite pour $X^{\prime }=AX$, et l'énoncé dit que ce schéma converge vers $e^{tA}{X}_0$ quand le pas $h=\frac{t}{n}$ tend vers $0$, avec une erreur en $\frac{1}{n}$ : c'est la définition d'un schéma d'ordre $1$. Le contrôle en montre le défaut — appliqué à une rotation, Euler explicite amplifie la norme au lieu de la conserver.