L'exponentielle qui tourne

$A^2=-I_2$, donc les puissances de $A$ sont $4$-périodiques et la série se scinde selon la parité : $$e^{tA}=\left(\sum _{j\ge 0}\frac{(-1{)}^j{t}^{2j}}{(2j)!}\right)I_2+\left(\sum _{j\ge 0}\frac{(-1{)}^j{t}^{2j+1}}{(2j+1)!}\right)A=(\cos t)I_2+(\sin t)A=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right),$$ la matrice de rotation $R(t)$ du chapitre 3 (les séries de $\cos$ et $\sin$ sont celles du chapitre 6). Le système $X^{\prime }=AX$ fait donc tourner la condition initiale à vitesse angulaire $1$ : trajectoires circulaires, portrait de phase de type centre ($\mathrm{Sp}(A)=\{\pm i\}$). (Trois chapitres dans un calcul de deux lignes.)