L'exponentielle qui tourne

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (MP/MPI), chapitre 10 — Équations différentielles linéaires · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Calculer $e^{t A}$ pour $A = (01 - 1 0)$ , et interpréter le système $X^{'} = A X$ .

Corrigé

$A^{2} = - I_{2}$ , donc les puissances de $A$ sont $4$ -périodiques et la série se scinde selon la parité : $e^{t A} = (j \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{j} t ^{2 j}}{( 2 j )!}) I_{2} + (j \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{j} t ^{2 j + 1}}{( 2 j + 1 )!}) A = (cos t) I_{2} + (sin t) A = (cos t sin t - sin t cos t),$ la matrice de rotation $R (t)$ du chapitre 3 (les séries de $cos$ et $sin$ sont celles du chapitre 6). Le système $X^{'} = A X$ fait donc tourner la condition initiale à vitesse angulaire $1$ : trajectoires circulaires, portrait de phase de type centre ( $Sp (A) = {\pm i}$ ). (Trois chapitres dans un calcul de deux lignes.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.