L'oscillateur amorti

Équation caractéristique $r^2+2\alpha r+{\omega }^2=0$, discriminant réduit ${\Delta }^{\prime }={\alpha }^2-{\omega }^2$. Régime sous-amorti ($0<\alpha <\omega$) : racines $-\alpha \pm i\sqrt{{\omega }^2-{\alpha }^2}$, solutions $e^{-\alpha t}(\lambda \cos (\Omega t)+\mu \sin (\Omega t))$ : oscillations dans une enveloppe exponentielle décroissante. Régime critique ($\alpha =\omega$) : racine double $-\alpha$, solutions $(\lambda +\mu t)e^{-\alpha t}$ — retour le plus rapide sans oscillation. Régime sur-amorti ($\alpha >\omega$) : deux racines réelles $-\alpha \pm \sqrt{{\Delta }^{\prime }}$, toutes deux $<0$ (leur produit vaut ${\omega }^2>0$, leur somme $-2\alpha <0$). Dans les trois cas, les racines sont de partie réelle strictement négative : polynôme $\times$ $e^{(\text{Re}<0)t}\to 0$, donc toutes les solutions tendent vers $0$ — l'énergie se dissipe. Pour $\alpha =0$ : centre, oscillations perpétuelles $\lambda \cos \omega t+\mu \sin \omega t$. (Le système compagnon a pour spectre les racines caractéristiques : la discussion est exactement la lecture du signe des parties réelles — et les trois régimes sont ceux de l'amortisseur de voiture.)