L'unique solution bornée de $x^{\prime }+x=b(t)$

La stratégie : l'existence est un calcul d'intégrale convergente, l'unicité une lecture de l'équation homogène. L'équation est linéaire d'ordre $1$, normalisée, à coefficients continus sur $\mathbb{R}$ : par le théorème de structure, ses solutions forment une droite affine, $x(t)=e^{-t}(K+{\int }_{t_0}^t{e}^{s}b(s)\mathrm{d}s)$. Toute la question est le choix de la constante — et le seul choix qui empêche $e^{-t}$ d'exploser en $-\infty$ consiste à faire partir l'intégrale de $-\infty$.

1) L'intégrale converge, la fonction est bornée. Fixons $t$. L'application $s\mapsto e^{s-t}b(s)$ est continue sur $]-\infty ,t]$ et $|e^{s-t}b(s)|\le \Vert b{\Vert }_{\infty }{e}^{s-t}$, où $\Vert b{\Vert }_{\infty }={\sup }_{\mathbb{R}}|b|<+\infty$. Or ${\int }_{-\infty }^t{e}^{s-t}\mathrm{d}s=[e^{s-t}{]}_{-\infty }^t=1$ converge. Par domination par une fonction positive intégrable (chapitre 8), l'intégrale converge absolument, et la même majoration donne $$|x(t)|\le \Vert b{\Vert }_{\infty }{\int }_{-\infty }^t{e}^{s-t}\mathrm{d}s=\Vert b{\Vert }_{\infty }.$$ $x$ est définie sur $\mathbb{R}$ et bornée par $\Vert b{\Vert }_{\infty }$.

2) $x$ est solution. Posons $F(t)={\int }_{-\infty }^t{e}^{s}b(s)\mathrm{d}s$, convergente par la même domination. En sortant $e^{-t}$, constant vis-à-vis de $s$, on a $x(t)=e^{-t}F(t)$. Or $F$ est une intégrale de borne supérieure variable d'une fonction continue : elle est ${\mathcal{C}}^1$ avec $F^{\prime }(t)=e^{t}b(t)$. Donc $x$ est ${\mathcal{C}}^1$ et $$x^{\prime }(t)=-e^{-t}F(t)+e^{-t}{e}^{t}b(t)=-x(t)+b(t),$$ c'est-à-dire $x^{\prime }+x=b$ sur $\mathbb{R}$.

3) Unicité. Soient $x,y$ deux solutions bornées sur $\mathbb{R}$ ; $z=x-y$ vérifie $z^{\prime }+z=0$, donc $z(t)=K{e}^{-t}$. Comme $z$ est bornée et que $|z(t)|=|K|e^{-t}\to +\infty$ quand $t\to -\infty$ si $K\ne 0$, on a $K=0$ et $x=y$.

Le point délicat : c'est le comportement en $-\infty$ qui tranche, pas celui en $+\infty$. En $+\infty$, $K{e}^{-t}\to 0$ : toutes les solutions y sont bornées. Chercher « la » solution bornée sur ${\mathbb{R}}_{+}$ n'aurait donc aucun sens — il y en a une infinité, une par condition initiale. C'est la bornitude sur $\mathbb{R}$ tout entier qui sélectionne ; et c'est pourquoi le noyau $e^{s-t}$, qui décroît vers le passé, s'intègre de $-\infty$ à $t$. Pour $x^{\prime }-x=b$, ce serait l'inverse : $x(t)=-{\int }_t^{+\infty }{e}^{t-s}b(s)\mathrm{d}s$.

4) Lecture de la formule. Le changement de variable $s=t-v$ donne $x(t)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-v}b(t-v)\mathrm{d}v$ : $x(t)$ est une moyenne pondérée du passé de $b$, de poids total $1$, concentrée sur les dernières unités de temps. Le système oublie exponentiellement son passé : c'est un filtre passe-bas de constante de temps $1$.

Contrôle chiffré. Pour $b(t)=\cos t$, bornée par $1$ : comme $\int e^s\cos s\mathrm{d}s=\frac{1}{2}{e}^s(\cos s+\sin s)$, la formule donne $x(t)=\frac{\cos t+\sin t}{2}$. Vérification symbolique : $x^{\prime }+x=\frac{-\sin t+\cos t}{2}+\frac{\cos t+\sin t}{2}=\cos t$. Vérification numérique de la formule intégrale (${\int }_{t-60}^t{e}^{s-t}\cos s\mathrm{d}s$) : $0,69088665$ en $t=1$, $-0,66272213$ en $t=-2$, $-0,68896809$ en $t=3,7$ — soit exactement $\frac{\cos t+\sin t}{2}$ dans les trois cas. Enfin $\frac{\cos t+\sin t}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos (t-\frac{\pi }{4})$, de supremum $0,7071\le \Vert b{\Vert }_{\infty }=1$ : la borne du 1) est respectée, sans être atteinte puisque $b$ ne reste pas à son maximum.

Ce que l'exercice installe. Une condition de comportement à l'infini peut remplacer une condition initiale : dans la droite affine des solutions, elle en sélectionne une seule. C'est le mécanisme du « régime permanent » d'un circuit ou d'un oscillateur forcé, la solution que le système atteint quand il a oublié son démarrage. La recette : quand le noyau décroît vers le passé, on intègre de $-\infty$ à $t$ ; quand il décroît vers l'avenir, de $t$ à $+\infty$.