Problème de Cauchy contre problème aux limites

a) L'évaluation est un isomorphisme. L'équation est scalaire linéaire d'ordre $2$, normalisée, à coefficients constants donc continus, sur l'intervalle $\mathbb{R}$ : le théorème de Cauchy linéaire s'applique et donne, pour tout $t_0$ et tout $(x_0,v_0)$, une solution et une seule définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. Relu, cet énoncé dit que ${\mathrm{ev}}_{t_0}$ est surjective (« il existe ») et injective (« une seule ») ; elle est linéaire, donc c'est un isomorphisme et $\dim S=2$. Comme ${\mathrm{ev}}_0(\cos )=(1,0)$ et ${\mathrm{ev}}_0(\sin )=(0,1)$, la famille $(\cos ,\sin )$ est une base de $S$ : toute solution s'écrit $x=\lambda \cos +\mu \sin$ de façon unique.

b) Deux conditions aux limites. Pour $x=\lambda \cos +\mu \sin$, $$x(0)=\lambda ,x(\pi )=\lambda \cos \pi +\mu \sin \pi =-\lambda .$$ Le sinus a disparu : la condition ne porte que sur $\lambda$.

• $x(0)=x(\pi )=0$ équivaut à $\lambda =0$, c'est-à-dire $x\in \mathrm{Vect}(\sin )$ : une droite vectorielle, donc une infinité de solutions.
• $x(0)=0$ et $x(\pi )=1$ exigeraient $\lambda =0$ et $-\lambda =1$ : aucune solution.

Autrement dit ${\Phi }_{\pi }$ envoie $\lambda \cos +\mu \sin$ sur $(\lambda ,-\lambda )$ : son noyau est $\mathrm{Vect}(\sin )$, son image la droite $\{(u,-u)\}$. Elle n'est ni injective ni surjective.

c) Le déterminant qui décide. ${\Phi }_L$ est linéaire de $S$ dans ${\mathbb{R}}^2$, deux espaces de dimension $2$, et $${\Phi }_L(\cos )=(1,\cos L),{\Phi }_L(\sin )=(0,\sin L),\mathrm{Mat}({\Phi }_L)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \cos L& \sin L\end{array}\right),\det {\Phi }_L=\sin L.$$ Le problème est bien posé pour tout $(\alpha ,\beta )$ si et seulement si ${\Phi }_L$ est bijective, c'est-à-dire $$\sin L\ne 0,\text{soit}L\ne k\pi (k\in {\mathbb{N}}^{\ast }).$$ Pour $L=k\pi$, la matrice est de rang $1$.

Le point délicat : existence et unicité tombent ensemble. ${\Phi }_L$ est linéaire entre deux espaces de même dimension finie, donc injective si et seulement si surjective. Il n'y a que deux régimes : ou bien $\sin L\ne 0$ et le problème a une solution unique pour toute donnée, ou bien $\sin L=0$ et alors, selon $(\alpha ,\beta )$, il n'y a aucune solution ou une droite entière de solutions. Le théorème de Cauchy, lui, ne connaît jamais ce second régime.

d) Les $\mu$ qui autorisent une solution non nulle. Trois cas.

$\mu >0$. Posons $\omega =\sqrt{\mu }>0$ : les solutions sont $x=a\cos (\omega t)+b\sin (\omega t)$, et $x(0)=0$ donne $a=0$, donc $x=b\sin (\omega t)$ avec $b\ne 0$. Alors $x(\pi )=b\sin (\omega \pi )=0$ impose $\omega \pi =n\pi$ avec $n\ge 1$, soit $\mu =n^2$ et $x=b\sin (nt)$.

$\mu =0$. Les solutions de $x^{\prime \prime }=0$ sont $x=a+bt$ ; $x(0)=a=0$ et $x(\pi )=b\pi =0$ donnent $b=0$ : seule la solution nulle.

$\mu <0$. Posons $\omega =\sqrt{-\mu }>0$ : les solutions s'écrivent $x=a\mathrm{ch}(\omega t)+b\mathrm{sh}(\omega t)$, où $\mathrm{ch}$ est le cosinus hyperbolique et $\mathrm{sh}$ le sinus hyperbolique. Comme le cosinus hyperbolique vaut $1$ en $0$ et le sinus hyperbolique $0$, la condition $x(0)=0$ donne $a=0$ ; et $x(\pi )=b\mathrm{sh}(\omega \pi )=0$ avec $\mathrm{sh}(\omega \pi )\ne 0$, le sinus hyperbolique étant strictement croissant et nul seulement en $0$ : $b=0$, seule la solution nulle.

Conclusion. L'ensemble cherché est $\{n^2:n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$, les solutions non nulles étant les multiples de $t\mapsto \sin (nt)$ : les valeurs propres et fonctions propres du problème aux limites. Plus $\mu$ est grand, plus la fonction propre oscille — $\sin (nt)$ a $n+1$ zéros sur $[0,\pi ]$ contre $2$ pour $\sin t$.

Ce que l'exercice installe. Le théorème de Cauchy porte sur des conditions initiales, prises en un même point : c'est la seule situation où l'on dispose d'un isomorphisme. Réflexe : un problème aux limites se traduit en une application linéaire de l'espace des solutions, de dimension connue, vers l'espace des données ; tout se lit ensuite sur un rang. La dernière question relie la taille de $\mu$ à la vitesse d'oscillation : c'est l'objet du problème final.