Problème — Séparation et comparaison de Sturm

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le wronskien et le théorème de caractérisation des bases ; le théorème de Cauchy linéaire, et surtout son unicité ; le théorème des valeurs intermédiaires et celui de Bolzano–Weierstrass. Rien d'autre — en particulier, on ne résoudra jamais $({\mathcal{E}}_q)$.

1) Le wronskien est constant. $W$ est dérivable et $$W^{\prime }=x_1^{\prime }{x}_2^{\prime }+x_1{x}_2^{\prime \prime }-x_1^{\prime \prime }{x}_2-x_1^{\prime }{x}_2^{\prime }=x_1{x}_2^{\prime \prime }-x_1^{\prime \prime }{x}_2.$$ Les deux termes $x_1^{\prime }{x}_2^{\prime }$ se détruisent : c'est l'unique simplification, et elle est systématique. En remplaçant $x_1^{\prime \prime }=-q{x}_1$ et $x_2^{\prime \prime }=-q{x}_2$ — licite puisque les deux fonctions sont solutions de la même équation : $$W^{\prime }=x_1(-q{x}_2)-(-q{x}_1)x_2=0.$$ $W^{\prime }$ est nulle sur l'intervalle $I$, donc $W$ y est constante. (Le cours donne $W^{\prime }=-\alpha W$ ; ici $\alpha \equiv 0$, et c'est l'absence de terme en $x^{\prime }$ qui rend $W$ constante et pas seulement de signe constant.)

L'équivalence est le théorème de caractérisation des bases : $(x_1,x_2)$ est une base si et seulement si $W$ ne s'annule pas — et ici, $W$ étant constante, « ne s'annule pas en un point » et « ne s'annule nulle part » sont la même chose.

2) Séparation : un zéro, et un seul.

Préliminaire : les zéros sont simples. Si $x_1(a)=x_1^{\prime }(a)=0$, alors $x_1$ est solution du problème de Cauchy en $a$ de données initiales nulles ; la fonction nulle en est aussi une solution, donc par unicité $x_1\equiv 0$ — impossible pour un élément d'une famille libre. Donc $x_1^{\prime }(a)\ne 0$ en tout zéro $a$ de $x_1$, et de même pour $x_2$.

Aux zéros de $x_1$, on lit $x_2$. Si $x_1(a)=0$, la constante $W$ se réduit à un produit : $$W=x_1(a)x_2^{\prime }(a)-x_1^{\prime }(a)x_2(a)=-x_1^{\prime }(a)x_2(a),\text{donc}{x}_2(a)=-\frac{W}{x_1^{\prime }(a)}\ne 0.$$ Premier acquis : deux solutions indépendantes n'ont aucun zéro commun.

Existence. Soient $a<b$ deux zéros consécutifs de $x_1$ : $x_1$ ne s'annule pas sur $]a,b[$ donc, étant continue, y garde un signe constant. Quitte à remplacer $x_1$ par $-x_1$ — ce qui change $W$ en $-W$ sans modifier ni les zéros ni la conclusion —, supposons $x_1>0$ sur $]a,b[$. Alors $$x_1^{\prime }(a)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{x_1(a+h)}{h}\ge 0,x_1^{\prime }(b)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{x_1(b-h)}{-h}\le 0,$$ et ces deux dérivées sont non nulles par le préliminaire : $x_1^{\prime }(a)>0>x_1^{\prime }(b)$. D'où $$x_2(a)x_2(b)=\frac{-W}{x_1^{\prime }(a)}\cdot \frac{-W}{x_1^{\prime }(b)}=\frac{W^2}{x_1^{\prime }(a)x_1^{\prime }(b)}<0,$$ puisque $W^2>0$ et que le dénominateur est strictement négatif. $x_2(a)$ et $x_2(b)$ sont de signes stricts opposés. Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $x_2$, continue sur $[a,b]$, il existe $c\in [a,b]$ avec $x_2(c)=0$ ; et $c\ne a$, $c\ne b$ puisque $x_2$ n'y est pas nulle. Donc $c\in ]a,b[$.

Unicité. Supposons que $x_2$ ait deux zéros dans $]a,b[$. Ses zéros étant isolés et en nombre fini sur tout segment (question 3, dont la démonstration n'utilise que le préliminaire ci-dessus), on peut en extraire deux consécutifs $c<d$ dans $]a,b[$. Or les rôles sont symétriques : le wronskien de $(x_2,x_1)$ vaut $-W$, également constant non nul, donc ce qui précède, appliqué au couple $(x_2,x_1)$ et à ses zéros consécutifs $c<d$, fournit un zéro de $x_1$ dans $]c,d[\subset ]a,b[$ — ce qui contredit le fait que $a$ et $b$ sont consécutifs. Il y a donc exactement un zéro de $x_2$ dans $]a,b[$.

Le point délicat est le passage « deux zéros $\Rightarrow$ deux zéros consécutifs ». Sans l'isolement, rien n'interdirait une infinité de zéros s'accumulant entre deux d'entre eux, auquel cas le mot « consécutifs » n'aurait aucun sens. C'est la question 3 qui le rend licite, et c'est l'étape qu'on saute le plus souvent.

3) Zéros simples, isolés, en nombre fini sur tout segment.

Simples. Si $x(t_0)=x^{\prime }(t_0)=0$, l'unicité dans le théorème de Cauchy en $t_0$ avec données initiales nulles donne $x\equiv 0$, exclu. Donc $x(t_0)=0\Rightarrow x^{\prime }(t_0)\ne 0$.

Isolés. Soit $t_0$ un zéro. Comme $x$ est dérivable en $t_0$, $$x(t)=x(t_0)+x^{\prime }(t_0)(t-t_0)+o(t-t_0)=(t-t_0)(x^{\prime }(t_0)+\epsilon (t)),\epsilon (t)\underset{t\to t_0}{\to }0.$$ Comme $x^{\prime }(t_0)\ne 0$, il existe $\eta >0$ tel que $|\epsilon (t)|<|x^{\prime }(t_0)|$ pour $|t-t_0|<\eta$ ; le facteur est alors non nul et $x(t)\ne 0$ pour $0<|t-t_0|<\eta$.

Nombre fini sur tout segment. Soit $[c,d]\subset I$ et supposons-y une infinité de zéros : on construit une suite $(t_n)$ de zéros deux à deux distincts. Le segment étant compact, on extrait une sous-suite convergente de limite $\ell \in [c,d]$ ; quitte à retirer au plus un terme, $t_n\ne \ell$ pour tout $n$. Par continuité $x(\ell )=\lim x(t_n)=0$, et $$x^{\prime }(\ell )=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x(t_n)-x(\ell )}{t_n-\ell }=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{0-0}{t_n-\ell }=0.$$ $\ell$ serait un zéro non simple : contradiction. Les zéros sont en nombre fini sur tout segment — ce qui donne enfin un sens à « deux zéros consécutifs ».

4) Comparaison.

a) $x_1$ et $x_2$ ne sont plus solutions de la même équation : le calcul du 1) se refait, mais ne se simplifie plus complètement. $$W^{\prime }=x_1{x}_2^{\prime \prime }-x_1^{\prime \prime }{x}_2=x_1(-q_2{x}_2)-(-q_1{x}_1)x_2=(q_1-q_2)x_1{x}_2.$$ Le wronskien n'est plus constant ; sa dérivée porte le signe de $q_1-q_2$. C'est tout le ressort du théorème : là où la séparation utilisait $W^{\prime }=0$, la comparaison utilise $W^{\prime }\le 0$.

b) Supposons que $x_2$ ne s'annule pas sur $]a,b]$. Quitte à remplacer $x_1$ par $-x_1$ et $x_2$ par $-x_2$ — deux changements qui ne modifient ni les zéros ni les hypothèses —, supposons $$x_1>0\text{ sur }]a,b[,x_2>0\text{ sur }]a,b]$$ (les deux fonctions sont continues et ne s'annulent pas sur l'intervalle considéré : elles y gardent un signe constant).

Monotonie. Sur $]a,b[$, $x_1{x}_2>0$ et $q_1-q_2\le 0$, donc $W^{\prime }\le 0$ : $W$, continue sur $[a,b]$ et de dérivée négative ou nulle sur $]a,b[$, y est décroissante. En particulier $W(b)\le W(a)$.

Signes aux extrémités. Comme $x_1(a)=0$ : $W(a)=-x_1^{\prime }(a)x_2(a)$, avec $x_1^{\prime }(a)>0$ (question 3 et signe de $x_1$ à droite de $a$) et $x_2(a)\ge 0$ par continuité. Donc $W(a)\le 0$. Comme $x_1(b)=0$ : $W(b)=-x_1^{\prime }(b)x_2(b)$, avec $x_1^{\prime }(b)<0$ et $x_2(b)>0$ strictement — c'est ici que sert l'hypothèse « ne s'annule pas sur $]a,b]$ », intervalle fermé en $b$. Donc $W(b)>0$.

Contradiction. On obtient $0<W(b)\le W(a)\le 0$ : absurde.

c) L'hypothèse était donc fausse : $x_2$ s'annule en au moins un point de $]a,b]$.

Supposons maintenant $q_1(t^{\ast })<q_2(t^{\ast })$ pour un $t^{\ast }\in [a,b]$, et montrons que $x_2$ s'annule dans l'intervalle ouvert. Sinon, le seul cas restant est $x_2(b)=0$ et $x_2$ non nulle sur $]a,b[$ ; supposons encore $x_1>0$ et $x_2>0$ sur $]a,b[$. Alors $W$ est décroissante sur $[a,b]$, $W(a)=-x_1^{\prime }(a)x_2(a)\le 0$, et cette fois $$W(b)=x_1(b)x_2^{\prime }(b)-x_1^{\prime }(b)x_2(b)=0-0=0,$$ puisque $x_1(b)=x_2(b)=0$. De $W(b)\le W(a)\le 0=W(b)$ on tire $W(a)=W(b)=0$, donc $W$, décroissante et de mêmes valeurs aux deux bouts, est identiquement nulle sur $[a,b]$. Alors $W^{\prime }\equiv 0$, c'est-à-dire $(q_1-q_2)x_1{x}_2\equiv 0$ sur $]a,b[$ ; comme $x_1{x}_2>0$ sur cet intervalle, $q_1=q_2$ sur $]a,b[$, donc sur $[a,b]$ par continuité — contraire à $q_1(t^{\ast })<q_2(t^{\ast })$. Donc $x_2$ s'annule sur $]a,b[$.

5) Deux conséquences.

a) Si $q\ge m>0$. Posons $q_1\equiv m$ et $q_2=q$ : l'hypothèse $q_1\le q_2$ est vérifiée. Fixons $t_0\in \mathbb{R}$ et prenons $u(t)=\sin (\sqrt{m}(t-t_0))$, solution non nulle de $x^{\prime \prime }+mx=0$, dont les zéros sont les $t_0+\frac{k\pi }{\sqrt{m}}$ : deux zéros consécutifs sont $t_0$ et $t_0+\frac{\pi }{\sqrt{m}}$. Par la question 4, toute solution non nulle $x$ de $({\mathcal{E}}_q)$ s'annule dans $]t_0,t_0+\frac{\pi }{\sqrt{m}}]$.

Infinité de zéros. $t_0$ étant arbitraire, $x$ s'annule dans tout intervalle de longueur $\frac{\pi }{\sqrt{m}}$, donc dans une infinité d'intervalles disjoints : elle a une infinité de zéros, non majorés ni minorés.

Espacement. Soient $c<d$ deux zéros consécutifs de $x$ (ce qui a un sens par la question 3). Si $d-c>\frac{\pi }{\sqrt{m}}$, le résultat précédent avec $t_0=c$ fournirait un zéro dans $]c,c+\frac{\pi }{\sqrt{m}}]\subset ]c,d[$ : contradiction. Donc $d-c\le \frac{\pi }{\sqrt{m}}$.

b) Si $q\le 0$. Posons cette fois $q_1=q\le 0=q_2$ et prenons pour $x_2$ la solution constante égale à $1$ de $x^{\prime \prime }=0$, qui est non nulle. Si une solution non nulle $x$ de $({\mathcal{E}}_q)$ avait deux zéros, elle en aurait deux consécutifs $a<b$ (question 3), et la question 4 appliquée à $x_1=x$ affirmerait que $x_2$ s'annule dans $]a,b]$ — or la fonction constante $1$ ne s'annule nulle part. Contradiction : $x$ a au plus un zéro.

(Démonstration directe, pour voir la géométrie : si $a<b$ sont deux zéros consécutifs avec $x>0$ sur $]a,b[$, alors $x^{\prime \prime }=-qx\ge 0$ : $x$ est convexe sur $[a,b]$, donc inférieure ou égale à la corde joignant $(a,0)$ à $(b,0)$, c'est-à-dire à la fonction nulle — contradiction.)

6) Contrôle, et énoncé des théorèmes.

Cas $q\equiv 1$. Les solutions sont les combinaisons de $\cos$ et $\sin$, de wronskien $W=\cos t\cos t-(-\sin t)\sin t=1$, constant non nul comme l'annonce la question 1. Les zéros du sinus sont les $k\pi$, ceux du cosinus les $\frac{\pi }{2}+k\pi$ : entre deux zéros consécutifs du sinus, le cosinus s'annule exactement une fois — la séparation, sur l'exemple le plus familier. L'écart entre zéros consécutifs vaut exactement $\pi =\frac{\pi }{\sqrt{1}}$ : la majoration du 5a) est atteinte, donc optimale.

Cas $q\equiv \frac{1}{4}$. Les solutions sont les combinaisons de $\cos \frac{t}{2}$ et $\sin \frac{t}{2}$, et les zéros de $\sin \frac{t}{2}$ sont les $2k\pi$, espacés de $2\pi =\frac{\pi }{\sqrt{1/4}}$. La comparaison se vérifie sur pièce : $\frac{1}{4}\le 1$, donc entre deux zéros consécutifs de $\sin \frac{t}{2}$ — par exemple $0$ et $2\pi$ — toute solution de $x^{\prime \prime }+x=0$ doit s'annuler, et $\sin$ s'y annule bien, en $\pi$. Plus $q$ est grand, plus les zéros se resserrent, dans le rapport $\sqrt{q}$ : passer de $\frac{1}{4}$ à $1$ divise l'espacement par $2$.

Contrôle avec un $q$ vraiment variable. Prenons $q(t)=t$, c'est-à-dire $x^{\prime \prime }+tx=0$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$ — l'équation d'Airy de l'exercice 3 au signe de $t$ près —, avec $x_1(0)=1,x_1^{\prime }(0)=0$ et $x_2(0)=0,x_2^{\prime }(0)=1$. Leur wronskien vaut $W=1\times 1-0\times 0=1$, que l'intégration numérique retrouve constant à $10^{-12}$ près. Zéros calculés :

zéros de $x_1$	1,9864	3,8253	5,2956	6,5843	7,7573	8,8475	9,8743	10,8502
zéros de $x_2$	2,6664	4,3425	5,7410	6,9861	8,1288	9,1961	10,2047	11,1658

Fusionnées, les deux suites sont strictement alternées : $1,9864<2,6664<3,8253<4,3425<5,2956<5,7410<\cdots$, et sur les sept intervalles testés on compte exactement un zéro de $x_2$ à chaque fois, jamais zéro ni deux, aucun zéro n'étant commun. La comparaison se lit aussi : les écarts entre zéros consécutifs de $x_1$ décroissent — $1,84$ ; $1,47$ ; $1,29$ ; $1,17$ — puisque $q(t)=t$ croît ; et au-delà de $t=4$, où $q\ge 4$, ils sont tous inférieurs à $\frac{\pi }{2}=1,5708$, conformément au 5a).

Les théorèmes obtenus.

> Théorème de séparation de Sturm. Soient $q$ continue sur un intervalle $I$ et $x_1,x_2$ deux solutions indépendantes de $x^{\prime \prime }+q(t)x=0$. Entre deux zéros consécutifs de $x_1$ se trouve exactement un zéro de $x_2$ : les zéros des deux solutions s'entrelacent.

> Théorème de comparaison de Sturm. Soient $q_1\le q_2$ continues sur $I$, $x_1$ une solution non nulle de $x^{\prime \prime }+q_{1}x=0$ et $x_2$ une solution non nulle de $x^{\prime \prime }+q_{2}x=0$. Alors $x_2$ s'annule entre deux zéros consécutifs quelconques de $x_1$ — au sens large en $b$, au sens strict dès que $q_1\ne q_2$ quelque part. Autrement dit : plus le coefficient est grand, plus les solutions oscillent vite.

L'interprétation mécanique. $x^{\prime \prime }+q(t)x=0$ est l'équation d'un oscillateur dont la raideur rapportée à la masse vaut $q(t)$. Le théorème de comparaison dit alors ce que l'intuition affirme sans le démontrer : plus le ressort est raide, plus les passages par l'équilibre se resserrent. Et le 5b) dit l'inverse : si la force écarte de l'équilibre au lieu d'y ramener, il n'y a plus d'oscillation — la solution traverse zéro au plus une fois, puis s'en va.

Ce que le problème installe. Trois idées. On peut décrire qualitativement les solutions d'une équation qu'on ne sait pas résoudre, et c'est le seul recours dès que les coefficients ne sont plus constants. Le wronskien est l'instrument de cette description : constant, il sépare ; de signe constant, il compare. Enfin, la plus transposable : pour établir une existence (« $x_2$ s'annule quelque part »), on suppose le contraire, on en déduit un signe, et l'on fait dire à ce signe une contradiction — sans jamais calculer. C'est le mécanisme de toute la théorie de Sturm–Liouville, qui gouverne les modes propres d'une corde, d'une membrane ou d'un puits quantique, et que l'exercice 1 avait croisé sans le nommer en trouvant les valeurs $\mu =n^2$.