Problème — Séparation et comparaison de Sturm

Dans tout le problème, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et $q,q_1,q_2:I\to \mathbb{R}$ sont continues. On note $({\mathcal{E}}_q)$ l'équation $x^{\prime \prime }+q(t)x=0$, dont l'espace des solutions est de dimension $2$.

1) Soient $x_1,x_2$ deux solutions de $({\mathcal{E}}_q)$ et $W=x_1{x}_2^{\prime }-x_1^{\prime }{x}_2$ leur wronskien. Montrer que $W$ est constant sur $I$, et que $W\ne 0$ si et seulement si $(x_1,x_2)$ est une base de l'espace des solutions.

2) (Séparation.) Soient $(x_1,x_2)$ une base de solutions de $({\mathcal{E}}_q)$ et $a<b$ deux zéros consécutifs de $x_1$. Montrer que $x_2$ s'annule exactement une fois sur $]a,b[$.

3) Soit $x$ une solution non nulle de $({\mathcal{E}}_q)$. Montrer que tout zéro de $x$ est simple, puis que les zéros de $x$ sont isolés ; en déduire que $x$ n'a qu'un nombre fini de zéros sur tout segment de $I$.

4) (Comparaison.) On suppose $q_1(t)\le q_2(t)$ pour tout $t$. Soient $x_1$ une solution non nulle de $x^{\prime \prime }+q_1(t)x=0$, $x_2$ une solution non nulle de $x^{\prime \prime }+q_2(t)x=0$, et $a<b$ deux zéros consécutifs de $x_1$. On pose $W=x_1{x}_2^{\prime }-x_1^{\prime }{x}_2$. a) Montrer que $W^{\prime }=(q_1-q_2)x_1{x}_2$. b) En supposant par l'absurde que $x_2$ ne s'annule pas sur $]a,b]$, montrer que $W$ est monotone sur $[a,b]$ et que les signes de $W(a)$ et $W(b)$ l'interdisent. c) Conclure : $x_2$ s'annule sur $]a,b]$, et sur $]a,b[$ dès que $q_1$ et $q_2$ diffèrent en un point de $[a,b]$.

5) Deux conséquences. a) On suppose $q(t)\ge m>0$ sur $\mathbb{R}$. En comparant à $x^{\prime \prime }+mx=0$, montrer que toute solution non nulle de $({\mathcal{E}}_q)$ a une infinité de zéros, deux zéros consécutifs étant distants d'au plus $\frac{\pi }{\sqrt{m}}$. b) On suppose $q(t)\le 0$ sur $I$. Montrer qu'une solution non nulle a au plus un zéro.

6) Contrôle. Traiter $q\equiv 1$, puis $q\equiv \frac{1}{4}$. Énoncer les théorèmes obtenus et leur interprétation mécanique.