Raccordement : quand le coefficient dominant s'annule

La stratégie. L'équation n'est pas normalisée : le coefficient de $x^{\prime }$ est $t$, qui s'annule en $0$, et le théorème de Cauchy ne vaut que sur un intervalle ne contenant pas $0$. La méthode du cours est en trois temps : résoudre sur chaque intervalle où le coefficient dominant ne s'annule pas ; raccorder en exigeant la régularité ; vérifier l'équation au point de jonction lui-même. Le d) montrera que le troisième temps n'est pas une formalité.

a) Sur chaque demi-droite. Sur $]0,+\infty [$, on divise par $t\ne 0$ : $x^{\prime }=\frac{2}{t}x$, équation scalaire d'ordre $1$ homogène, de solutions $x=c{e}^{A(t)}$ avec $A$ primitive de $\frac{2}{t}$, soit $A(t)=2\ln t$ et $x(t)=c_{+}{t}^2$. Sur $]-\infty ,0[$, $A(t)=2\ln |t|$ et $e^{2\ln |t|}=t^2$ encore : $x(t)=c_{-}{t}^2$. Les deux constantes sont indépendantes : deux résolutions sur deux intervalles disjoints.

b) Le raccordement. Soit $x$ une solution sur $\mathbb{R}$ ; elle est dérivable, donc continue, et ses restrictions donnent $x(t)=c_{+}{t}^2$ pour $t>0$, $c_{-}{t}^2$ pour $t<0$.

• Valeur en $0$ : par continuité, $x(0)=0$.
• Dérivabilité en $0$ : $\frac{x(h)-x(0)}{h}=c_{\pm }h\to 0$ des deux côtés, avec la même limite : $x$ est dérivable en $0$ et $x^{\prime }(0)=0$. (Les deux paraboles arrivent en $0$ avec une tangente horizontale.)
• Équation en $0$ : elle s'écrit $0\cdot x^{\prime }(0)=2x(0)$, soit $0=0$ : automatiquement satisfaite.

Réciproquement, tout couple $(c_{+},c_{-})$ donne une solution sur $\mathbb{R}$. L'ensemble des solutions est donc $\mathrm{Vect}(u_{+},u_{-})$ avec $$u_{+}(t)=\{\begin{array}{ll}{t}^2& t\ge 0\\ 0& t<0\end{array},u_{-}(t)=\{\begin{array}{ll}0& t>0\\ t^2& t\le 0,\end{array}$$ deux solutions manifestement libres. L'espace des solutions sur $\mathbb{R}$ est de dimension $2$ — pour une équation d'ordre $1$, dont la théorie de Cauchy prédirait la dimension $1$.

c) Le problème de Cauchy en $0$. L'équation en $t=0$ impose $0=2x(0)$, donc $x(0)=0$ : la condition initiale n'est pas libre. Si $x_0\ne 0$, aucune solution ; si $x_0=0$, un plan entier de solutions. Existence et unicité tombent l'une et l'autre, sans contredire le théorème, qui exige une équation normalisée.

d) Le cas où la dimension chute. Le membre de gauche de $t{x}^{\prime }+x=0$ est une dérivée de produit : $t{x}^{\prime }(t)+x(t)=(tx(t){)}^{\prime }$. Soit $x$ une solution sur $\mathbb{R}$ : la fonction $t\mapsto tx(t)$ est de dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc constante, égale à $k$. En $t=0$ le membre de gauche vaut $0$, donc $k=0$ ; alors $x(t)=0$ pour $t\ne 0$, et $x(0)=0$ par continuité. La seule solution sur $\mathbb{R}$ est la solution nulle : la dimension vaut $0$.

Le point délicat, et les deux fautes qu'il produit. La première : écrire « la solution générale est $c{t}^2$, donc la dimension vaut $1$ » — c'est oublier que les deux constantes sont indépendantes. La seconde : ne pas vérifier l'équation au point de jonction ; elle est automatique en b), mais c'est elle qui tue tout en d). La dimension de l'espace des solutions n'est un invariant que pour les équations normalisées.

Contrôle. Avec $c_{+}=1$, $c_{-}=-1$ : $x(t)=t|t|$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $x^{\prime }(t)=2|t|$, et $t{x}^{\prime }(t)=2t|t|=2x(t)$ partout. Elle n'est pas deux fois dérivable en $0$ — mais l'équation, d'ordre $1$, ne le demande pas.

Ce que l'exercice installe. Repérer les zéros du coefficient dominant, car c'est là et seulement là que la théorie cesse de parler ; puis résoudre sur chaque intervalle et raccorder — le raccordement étant un calcul, pas un commentaire. Même schéma pour Euler, Bessel ou Legendre en leurs points singuliers.