Réduction d'ordre : fabriquer la seconde solution

La stratégie : le wronskien n'est pas un test, c'est une équation. Le cours donne $W^{\prime }=-\alpha (t)W$ pour $x^{\prime \prime }+\alpha x^{\prime }+\beta x=0$ : une équation du premier ordre, qu'on sait résoudre. $W$ connu et $x_1$ connue, l'égalité $x_1{x}_2^{\prime }-x_1^{\prime }{x}_2=W$ est encore une équation du premier ordre en $x_2$. On a ramené l'ordre $2$ à deux ordres $1$ : c'est le sens du mot « réduction d'ordre ».

a) Avec $x_1=t$ : $x_1^{\prime }=1$, $x_1^{\prime \prime }=0$, donc $x_1^{\prime \prime }-\frac{2}{t}{x}_1^{\prime }+\frac{2}{t^2}{x}_1=0-\frac{2}{t}+\frac{2t}{t^2}=0$. Sur $]0,+\infty [$ les coefficients $\alpha (t)=-\frac{2}{t}$ et $\beta (t)=\frac{2}{t^2}$ sont continus et l'équation est normalisée : l'espace des solutions y est de dimension $2$.

b) Ici $\alpha (t)=-\frac{2}{t}$, donc $W^{\prime }=-\alpha W=\frac{2}{t}W$, équation scalaire d'ordre $1$ homogène sur $]0,+\infty [$ : $W(t)=C{e}^{2\ln t}=C{t}^2$. (On peut refaire le calcul plutôt que de citer : $W^{\prime }=x_1{x}_2^{\prime \prime }-x_1^{\prime \prime }{x}_2$, les termes $x_1^{\prime }{x}_2^{\prime }$ se détruisant ; en remplaçant $x_i^{\prime \prime }=-\alpha x_i^{\prime }-\beta x_i$, les termes en $\beta$ se détruisent à leur tour et il reste $W^{\prime }=-\alpha W$.) Prenons $C=1$, soit $W=t^2$ : comme $W$ ne s'annule pas sur $I$, le couple sera automatiquement une base, par le théorème de caractérisation des bases.

c) L'égalité $W=x_1{x}_2^{\prime }-x_1^{\prime }{x}_2$ s'écrit $t{x}_2^{\prime }(t)-x_2(t)=t^2$. Divisons par $t^2>0$ : le membre de gauche est une dérivée de quotient, $$\frac{t{x}_2^{\prime }-x_2}{t^2}={\left(\frac{x_2}{t}\right)}^{\prime }=1,\text{donc}\frac{x_2(t)}{t}=t+k,x_2(t)=t^2+kt.$$ Le terme $kt$ est un multiple de $x_1$ : on le supprime sans rien changer. Prenons $x_2(t)=t^2$. Vérification : $x_2^{\prime \prime }-\frac{2}{t}{x}_2^{\prime }+\frac{2}{t^2}{x}_2=2-\frac{2}{t}\cdot 2t+\frac{2}{t^2}\cdot t^2=2-4+2=0$. Indépendance : $W=t\cdot 2t-1\cdot t^2=t^2\ne 0$ sur $I$. La solution générale est $$x(t)=\lambda t+\mu t^2,(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$

Contrôle indépendant. Multiplions l'équation par $t^2$ : elle devient $t^2{x}^{\prime \prime }-2t{x}^{\prime }+2x=0$, une équation d'Euler, pour laquelle on cherche les solutions $t^r$ : $r(r-1)-2r+2=0$, soit $r^2-3r+2=0$ et $r\in \{1,2\}$. On retrouve $t$ et $t^2$ par une méthode entièrement différente.

d) La méthode générale. Soit $x^{\prime \prime }+\alpha x^{\prime }+\beta x=0$ et $x_1$ une solution qui ne s'annule pas sur $I$. Posons $x_2=x_{1}u$ : alors $x_2^{\prime }=x_1^{\prime }u+x_1{u}^{\prime }$, $x_2^{\prime \prime }=x_1^{\prime \prime }u+2x_1^{\prime }{u}^{\prime }+x_1{u}^{\prime \prime }$, et $$x_2^{\prime \prime }+\alpha x_2^{\prime }+\beta x_2=u\underset{=0}{\underbrace{(x_1^{\prime \prime }+\alpha x_1^{\prime }+\beta x_1)}}+x_1{u}^{\prime \prime }+(2x_1^{\prime }+\alpha x_1)u^{\prime }=0.$$ Le terme en $u$ disparaît — c'est tout l'intérêt de la substitution : il reste une équation du premier ordre en $u^{\prime }$, dont la résolution donne $$u^{\prime }=\frac{1}{x_1^2}{e}^{-\int \alpha }=\frac{W}{x_1^2},x_2=x_1\int \frac{W}{x_1^2}.$$ Sur l'exemple : $W=t^2$, $x_1^2=t^2$, donc $u^{\prime }=1$, $u=t$, $x_2=t^2$ — le même résultat.

Le point délicat : la formule exige $x_1\ne 0$. Aux zéros de $x_1$ la division est interdite. Ce n'est pas fatal — les zéros d'une solution non nulle sont isolés, comme le problème final le démontrera, donc la méthode fournit $x_2$ sur chaque intervalle entre deux zéros consécutifs, et le théorème de Cauchy prolonge ensuite à $I$ tout entier. Mais la formule, elle, est locale.

Ce que l'exercice installe. Le wronskien a trois emplois et l'on ne connaît souvent que le premier : tester l'indépendance, constater que le test ne dépend pas du point, et calculer — seul emploi véritablement actif. La relation $W^{\prime }=-\alpha W$, dite formule d'Abel ou de Liouville, réduit l'ordre $2$ à deux ordres $1$ dès qu'on connaît une solution. Au problème final, c'est le signe de $W^{\prime }$ qui portera tout le raisonnement.