Résolution par série entière

Soit $y=\sum a_n{t}^n$ de rayon $R>0$. La dérivation terme à terme (chapitre 6) et l'unicité des coefficients donnent, pour tout $n\ge 0$ : $$(n+2)(n+1)a_{n+2}+n{a}_n+a_n=0,\text{soit}{a}_{n+2}=-\frac{a_n}{n+2}.$$ Avec $a_0=1$, $a_1=0$ : les coefficients impairs sont nuls et $a_{2k}=\frac{(-1{)}^k}{2\cdot 4\cdots (2k)}=\frac{(-1/2{)}^k}{k!}$, d'où $$y(t)=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-t^2/2{)}^k}{k!}=e^{-t^2/2},$$ de rayon infini — c'est donc une vraie solution sur $\mathbb{R}$ (et l'on vérifie : $y^{\prime }=-ty$, $y^{\prime \prime }=(t^2-1)y$, somme nulle). (La gaussienne surgit d'une équation différentielle à coefficients polynomiaux : récurrence à deux crans, rayon infini, identification d'une fonction connue — le déroulé type de la méthode.)