Trois corps en contact thermique : le retour à la moyenne

La stratégie : reconnaître la matrice, puis tout lire sur son spectre. Le système est $X^{\prime }=AX$ avec $A$ symétrique réelle. Le théorème spectral (chapitre 3) fournit une base orthonormée de vecteurs propres ; dans cette base le système se découple en trois équations scalaires $u^{\prime }=\lambda u$, dont le comportement en $+\infty$ ne dépend que du signe de $\lambda$. Reste à identifier le spectre, ce que la structure de $A$ rend immédiat, sans polynôme caractéristique.

1) Mise en forme. $x^{\prime }=(y-x)+(z-x)=-2x+y+z$, et de même pour les deux autres par symétrie des rôles : $$X^{\prime }=AX,A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right)\in {\mathcal{S}}_3(\mathbb{R}).$$

2) Le spectre, sans polynôme caractéristique. Soit $J$ la matrice $3\times 3$ dont tous les coefficients valent $1$, et $u=(1,1,1)$. On lit $A=J-3I_3$. Or $J$ est de rang $1$ (ses trois colonnes valent $u$) : son image est $\mathbb{R}u$, son noyau l'hyperplan $u^{\perp }$ de dimension $2$, et $Ju=3u$. Donc $\mathrm{Sp}(J)=\{3,0\}$ avec $E_3(J)=\mathbb{R}u$, $E_0(J)=u^{\perp }$, et $J$ est diagonalisable ($1+2=3$). Ajouter $-3I_3$ ne change pas les sous-espaces propres et décale les valeurs propres : $$\mathrm{Sp}(A)=\{0,-3\},E_0(A)=\mathbb{R}u,E_{-3}(A)=u^{\perp }(\dim 2),$$ soit le spectre $\{0,-3,-3\}$ avec multiplicités. Toutes les valeurs propres sont négatives ou nulles, et $0$ est simple.

3) Résolution. Décomposons $X_0$ suivant la somme directe orthogonale ${\mathbb{R}}^3=\mathbb{R}u\oplus u^{\perp }$ : $$X_0=cu+w,c=\frac{⟨X_0,u⟩}{\Vert u{\Vert }^2}=\frac{x_0+y_0+z_0}{3}=\bar{x},w=X_0-cu\in u^{\perp }.$$ L'unique solution du problème de Cauchy est $X(t)=e^{tA}{X}_0$, et $e^{tA}$ agit par $e^{\lambda t}$ sur chaque sous-espace propre — c'est le cas diagonalisable du cours, où l'on ne calcule surtout pas $e^{tA}$ : $$X(t)=cu+e^{-3t}w\underset{t\to +\infty }{\to }\bar{x}(1,1,1).$$ L'écart à l'équilibre décroît en $e^{-3t}$ : constante de temps $\frac{1}{3}$.

4) Deux faits physiques, lisibles sur le spectre.

• La somme est conservée : $(x+y+z{)}^{\prime }=⟨u,X^{\prime }⟩=⟨u,AX⟩=⟨Au,X⟩=0$, en utilisant la symétrie de $A$ puis $Au=0$. C'est la traduction dynamique de la valeur propre $0$.
• Les écarts s'amortissent : sur $u^{\perp }$ — les triplets de somme nulle, c'est-à-dire les écarts à la moyenne — la dynamique est $w^{\prime }=-3w$.

5) L'exponentielle explicite, en prime. $I_3$ et $J$ commutent et $J^2=3J$, donc $J^k=3^{k-1}J$ pour $k\ge 1$ et $e^{tJ}=I_3+\frac{e^{3t}-1}{3}J$ ; par le théorème d'exponentielle d'une somme dans le cas commutatif ($tA=tJ+(-3t)I_3$), $$e^{tA}=e^{-3t}{e}^{tJ}=e^{-3t}{I}_3+\frac{1-e^{-3t}}{3}J\underset{t\to +\infty }{\to }\frac{1}{3}J,$$ la matrice « moyenne », qui envoie tout vecteur sur $(\bar{x},\bar{x},\bar{x})$.

Le point délicat : $0$ est valeur propre, donc les solutions ne tendent PAS vers $0$. Le critère du cours — « toutes les parties réelles strictement négatives entraînent la convergence vers $0$ » — ne s'applique pas, et sa conclusion serait fausse. Ce qui reste vrai est plus fin : la composante de $X_0$ dans $E_0$ est figée, tout le reste s'éteint. Il n'y a donc pas un équilibre mais une droite entière d'équilibres, $\mathbb{R}u$ : tous les états où les trois corps sont à la même température. Second piège : sans la symétrie de $A$, la décomposition ne serait plus orthogonale et $c$ ne serait plus la moyenne.

Contrôle chiffré. Départ $X_0=(10,20,60)$, de moyenne $\bar{x}=30$ ; la théorie prédit $x(t)=30+e^{-3t}(x_0-30)$ composante par composante. Le calcul matriciel de $e^{tA}{X}_0$ et cette formule coïncident : en $t=0,5$, $(25,537397;27,768698;36,693905)$ ; en $t=1$, $(29,004259;29,502129;31,493612)$ ; en $t=3$, $(29,997532;29,998766;30,003702)$. Vérification à la main de la première composante en $t=1$ : $30-20e^{-3}=30-20\times 0,0497871=29,004259$. Et la somme des trois vaut $90$ à chaque instant, conformément à la conservation du 4).

Ce que l'exercice installe. Le spectre est le comportement : une valeur propre nulle est une quantité conservée, une partie réelle strictement négative un amortissement dont elle donne le taux. C'est le schéma générique des systèmes de diffusion : $A=J-n{I}_n$, et plus généralement l'opposée d'un laplacien de graphe, a toujours $0$ pour valeur propre associée au vecteur constant et un spectre strictement négatif sur son orthogonal dès que le graphe est connexe — d'où conservation de la quantité totale, retour à la moyenne, et vitesse donnée par le « trou spectral ».