Un système diagonalisable

Vieille connaissance (chapitre 2) : $\mathrm{Sp}(A)=\{3,1\}$, vecteurs propres $v_1=(1,1)$ et $v_2=(1,-1)$. On décompose la condition initiale : $X_0=\frac{1}{2}{v}_1+\frac{1}{2}{v}_2$. Chaque composante évolue exponentiellement : $$X(t)=\frac{1}{2}{e}^{3t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+\frac{1}{2}{e}^t\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}{e}^{3t}+e^t\\ e^{3t}-e^t\end{array}\right).$$ (Aucun calcul de $e^{tA}$ : la base propre fait tout. Contrôle : $X(0)=(1,0)$ et $X^{\prime }(0)=(\frac{3+1}{2},\frac{3-1}{2})=(2,1)=A{X}_0$.)