Variation des constantes : $x^{\prime \prime }+x=\frac{1}{\cos t}$

La stratégie : aucune méthode de coefficients indéterminés ne peut fonctionner. Le second membre $\frac{1}{\cos t}$ n'est ni un polynôme, ni une exponentielle, ni un produit des deux : aucune forme de solution particulière n'est disponible a priori. La variation des constantes est l'outil universel, qui ne demande rien au second membre — au prix de deux primitives.

1) L'homogène et le cadre. $x^{\prime \prime }+x=0$ a pour base $(x_1,x_2)=(\cos ,\sin )$, de wronskien $$W=\cos t\cdot \cos t-(-\sin t)\cdot \sin t={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1,$$ constant non nul, ce qui confirme que c'est une base. Sur $I$, $\cos t>0$ donc $\delta (t)=\frac{1}{\cos t}$ est continu : l'équation est normalisée à coefficients continus, la théorie s'applique.

2) Le système. On cherche $x_p=c_1(t)\cos t+c_2(t)\sin t$ avec $c_1,c_2$ de classe ${\mathcal{C}}^1$, en imposant le système du cours $$\{\begin{array}{l}{c}_1^{\prime }\cos t+c_2^{\prime }\sin t=0\\ -c_1^{\prime }\sin t+c_2^{\prime }\cos t=\frac{1}{\cos t}.\end{array}$$ Son déterminant est précisément $W=1\ne 0$ ; les formules de Cramer donnent $$c_1^{\prime }=-\frac{x_2\delta }{W}=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t,c_2^{\prime }=\frac{x_1\delta }{W}=\frac{\cos t}{\cos t}=1.$$

3) Les primitives. Sur $I$, $\cos t>0$, donc $c_1(t)=\ln (\cos t)$ et $c_2(t)=t$ (primitives nulles en $0$). D'où $$x_p(t)=\cos t\ln (\cos t)+t\sin t,x(t)=\lambda \cos t+\mu \sin t+\cos t\ln (\cos t)+t\sin t.$$

Vérification complète. $x_p^{\prime }=-\sin t\ln (\cos t)+\cos t\cdot \frac{-\sin t}{\cos t}+\sin t+t\cos t=-\sin t\ln (\cos t)+t\cos t$, les termes $-\sin t$ et $+\sin t$ se détruisant. Puis $$x_p^{\prime \prime }=-\cos t\ln (\cos t)+\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}+\cos t-t\sin t,x_p^{\prime \prime }+x_p=\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}+\cos t=\frac{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}{\cos t}=\frac{1}{\cos t}.$$

4) Pourquoi la contrainte est un choix. On cherche deux fonctions inconnues pour satisfaire une seule équation : le problème est sous-déterminé, et il reste un degré de liberté. La contrainte $c_1^{\prime }{x}_1+c_2^{\prime }{x}_2=0$ le consomme, et elle est choisie pour une raison précise : elle fait disparaître les termes en $c_i^{\prime }$ dans $x_p^{\prime }$, de sorte que $x_p^{\prime }=c_1{x}_1^{\prime }+c_2{x}_2^{\prime }$ — comme si les $c_i$ étaient constantes. En dérivant une seconde fois, les $c_i^{\prime }$ n'apparaissent alors qu'une fois, ce qui produit un système linéaire, de déterminant $W$, au lieu d'une équation d'ordre $2$ en $c_1,c_2$. C'est un cas d'école de ce que signifie « imposer une condition supplémentaire pour rendre un problème calculable ».

5) La solution nulle en $0$, sous forme intégrale. Avec les primitives choisies, $x_p(0)=\ln 1=0$ et $x_p^{\prime }(0)=0$ : $x_p$ est la solution du problème de Cauchy $x(0)=x^{\prime }(0)=0$. On peut l'écrire d'un trait : en reportant $c_1^{\prime }$ et $c_2^{\prime }$ et en utilisant $\cos s\sin t-\sin s\cos t=\sin (t-s)$, $$x_p(t)={\int }_0^t\frac{x_1(s)x_2(t)-x_2(s)x_1(t)}{W}\delta (s)\mathrm{d}s={\int }_0^t\frac{\sin (t-s)}{\cos s}\mathrm{d}s.$$ Contrôle : ${\int }_0^t\frac{\sin t\cos s-\cos t\sin s}{\cos s}\mathrm{d}s=\sin t{\int }_0^t\mathrm{d}s-\cos t{\int }_0^t\tan s\mathrm{d}s=t\sin t+\cos t\ln (\cos t)$, c'est-à-dire exactement $x_p$.

Contrôle chiffré. En $t=1$, qui appartient à $I$ puisque $1<\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$ : $$x_p(1)=0,5403023\times (-0,6156265)+0,8414710=-0,3326239+0,8414710=0,5088471,$$ valeur que la quadrature de ${\int }_0^1\frac{\sin (1-s)}{\cos s}\mathrm{d}s$ retrouve à $10^{-9}$ près ; et $x_p^{\prime \prime }(1)+x_p(1)=\frac{1}{\cos 1}=1,8508157$, conformément à l'équation.

Ce que l'exercice installe. La variation des constantes est la seule méthode universelle de recherche d'une solution particulière. Son mécanisme tient en une phrase : on ajoute une contrainte libre, choisie pour linéariser le problème, et le wronskien apparaît comme le déterminant du système obtenu. L'expression intégrale finale porte un nom en physique : c'est la fonction de Green de l'oscillateur, qui superpose les réponses à toutes les excitations passées.