Wronskien et base sur un exemple non constant

Pour $x_1=t$ : $t^2\cdot 0-t\cdot 1+t=0$. Pour $x_2=t\ln t$ : $x_2^{\prime }=\ln t+1$, $x_2^{\prime \prime }=\frac{1}{t}$, et $t^2\cdot \frac{1}{t}-t(\ln t+1)+t\ln t=t-t\ln t-t+t\ln t=0$. Wronskien : $$W(t)=x_1{x}_2^{\prime }-x_1^{\prime }{x}_2=t(\ln t+1)-t\ln t=t\ne 0\text{sur }]0,+\infty [.$$ L'équation normalisée ($x^{\prime \prime }-\frac{1}{t}{x}^{\prime }+\frac{1}{t^2}x=0$) a un espace de solutions de dimension $2$, et $W\ne 0$ : $(x_1,x_2)$ en est une base — solutions générales $x=\lambda t+\mu t\ln t$. (Contrôle Liouville : $W^{\prime }=\frac{1}{t}W$ donne bien $W=ct$ — l'équation du wronskien se vérifie d'elle-même.)