Coordonnées polaires

Règle de la chaîne avec $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ (en notant $p={\partial }_{1}f$, $q={\partial }_{2}f$ évaluées en $(x,y)$) : $$\frac{\partial g}{\partial r}=p\cos \theta +q\sin \theta ,\frac{\partial g}{\partial \theta }=-pr\sin \theta +qr\cos \theta .$$ Alors $({\partial }_{r}g{)}^2+\frac{1}{r^2}({\partial }_{\theta }g{)}^2=(p\cos \theta +q\sin \theta {)}^2+(-p\sin \theta +q\cos \theta {)}^2=p^2+q^2=\Vert \nabla f{\Vert }^2$ (développer : les doubles produits se compensent). (Interprétation : $(\cos \theta ,\sin \theta )$ et $(-\sin \theta ,\cos \theta )$ forment une base orthonormée mobile — ${\partial }_{r}g$ est la composante radiale du gradient, $\frac{1}{r}{\partial }_{\theta }g$ sa composante orthoradiale, et la norme du gradient ne dépend pas de la base orthonormée, chapitre 3.)