Coordonnées polaires

Calcul différentiel et optimisation · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Soit $f \in C^{1} (R^{2}, R)$ et $g (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)$ . Exprimer $\frac{\partial g}{\partial r}$ et $\frac{\partial g}{\partial θ}$ , et vérifier que pour $r > 0$ : $∥\nabla f ∥^{2} = (\frac{\partial g}{\partial r})^{2} + \frac{1}{r ^{2}} (\frac{\partial g}{\partial θ})^{2} .$

Corrigé

Règle de la chaîne avec $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ (en notant $p = \partial_{1} f$ , $q = \partial_{2} f$ évaluées en $(x, y)$ ) : $\frac{\partial g}{\partial r} = p cos θ + q sin θ, \frac{\partial g}{\partial θ} = - p r sin θ + q r cos θ .$ Alors $(\partial_{r} g)^{2} + \frac{1}{r ^{2}} (\partial_{θ} g)^{2} = (p cos θ + q sin θ)^{2} + (- p sin θ + q cos θ)^{2} = p^{2} + q^{2} = ∥\nabla f ∥^{2}$ (développer : les doubles produits se compensent). (Interprétation : $(cos θ, sin θ)$ et $(- sin θ, cos θ)$ forment une base orthonormée mobile — $\partial_{r} g$ est la composante radiale du gradient, $\frac{1}{r} \partial_{θ} g$ sa composante orthoradiale, et la norme du gradient ne dépend pas de la base orthonormée, chapitre 3.)

Énoncé

Corrigé

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