Dérivées partielles et jacobienne

Les dérivées partielles existent et sont continues sur ${\mathbb{R}}^2$ (fonctions usuelles) : $f\in {\mathcal{C}}^1$, et $$J_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2xy& x^2\\ y\cos (xy)& x\cos (xy)\end{array}\right),J_f(1,\pi )=\left(\begin{array}{cc}2\pi & 1\\ -\pi & -1\end{array}\right),$$ d'où $\mathrm{d}f(1,\pi )\cdot (h,k)=(2\pi h+k,-\pi h-k)$. (La jacobienne se remplit ligne par ligne — une ligne par composante de $f$ — et la différentielle agit par produit matriciel.)