Deux différentielles à connaître

Linéaire : $u(a+h)=u(a)+u(h)+0$ : le développement est exact, la linéaire tangente est $u$ elle-même. Carré de la norme : $f(a+h)=⟨a+h,a+h⟩=\Vert a{\Vert }^2+2⟨a,h⟩+\Vert h{\Vert }^2$, et $\Vert h{\Vert }^2=o(\Vert h\Vert )$ : donc $f$ est différentiable en $a$ avec $\mathrm{d}f(a)\cdot h=2⟨a,h⟩$, soit $\nabla f(a)=2a$. (Le développement exact du produit scalaire fait apparaître la différentielle sans aucun calcul de dérivées partielles — et le gradient pointe radialement : les sphères sont les lignes de niveau.)