Différentielle nulle sur une couronne

La stratégie : le cours démontre le résultat pour un ouvert convexe, en prenant le segment ; ici il n'y a pas de segment. Le théorème « différentielle nulle sur un ouvert connexe par arcs entraîne fonction constante » est au programme, mais sa démonstration dans le cours passe par le segment $[a,b]$ et la formule intégrale. Sur une couronne, deux points peuvent être diamétralement opposés et le segment qui les joint passe par le centre, qui n'est pas dans $\Omega$. Il faut donc fabriquer un autre arc — et les coordonnées polaires le donnent.

a) Ouvert, non convexe. $\Omega$ est l'image réciproque de l'intervalle ouvert $]1,2[$ par l'application $z\mapsto \Vert z\Vert$, qui est continue : c'est un ouvert (chapitre 4). Il n'est pas convexe : les points $a=(-1,5;0)$ et $b=(1,5;0)$ appartiennent à $\Omega$, mais le milieu du segment $[a,b]$ est l'origine, de norme $0<1$, qui n'est pas dans $\Omega$. La démonstration du cours ne s'applique donc pas telle quelle.

b) $f$ est constante sur $\Omega$. Soient $a,b\in \Omega$. Écrivons-les en coordonnées polaires : $$a=r_a(\cos {\theta }_a,\sin {\theta }_a),b=r_b(\cos {\theta }_b,\sin {\theta }_b),1<r_a,r_b<2$$ (tout vecteur non nul du plan s'écrit ainsi, avec $r=\Vert z\Vert >0$). Définissons, pour $t\in [0,1]$, $$\gamma (t)=r(t)(\cos \theta (t),\sin \theta (t)),r(t)=(1-t)r_a+t{r}_b,\theta (t)=(1-t){\theta }_a+t{\theta }_b.$$ L'arc est bien tracé dans $\Omega$ : $\Vert \gamma (t)\Vert =r(t)$, et $r(t)$ est un barycentre à coefficients positifs de $r_a$ et $r_b$, tous deux dans l'intervalle $]1,2[$, qui est convexe : donc $1<r(t)<2$ et $\gamma (t)\in \Omega$. Il est de classe C1 : $r$ et $\theta$ sont affines, $\cos$ et $\sin$ sont C∞, et $\gamma$ est un produit et une composée de telles applications. Il joint $a$ à $b$ : $\gamma (0)=a$ et $\gamma (1)=b$.

La formule intégrale le long d'un arc (cours), applicable puisque $f$ est C1 sur l'ouvert $\Omega$ et $\gamma$ de classe C1 à valeurs dans $\Omega$, donne $$f(b)-f(a)={\int }_0^1\mathrm{d}f(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}0\mathrm{d}t=0,$$ car $\mathrm{d}f$ est nulle en tout point de $\Omega$, donc en $\gamma (t)$. Ainsi $f(a)=f(b)$ pour tous $a,b\in \Omega$ : $f$ est constante sur $\Omega$.

Lecture de l'arc. On a fait varier séparément le rayon et l'angle, à vitesse constante : le chemin est une « spirale » qui ne sort jamais de la couronne parce que le rayon reste entre les deux rayons de départ. C'est la traduction exacte du fait que la couronne est connexe par arcs.

c) La connexité est indispensable. Prenons ${\Omega }^{\prime }=\{1<\Vert z\Vert <2\}\cup \{3<\Vert z\Vert <4\}$, réunion de deux couronnes disjointes, qui est encore un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$. Soit $\rho :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction de classe C∞ valant $0$ sur $[1,4]$ et $1$ sur $[9,16]$ — on en construit par les fonctions plateau usuelles — et posons $f(z)=\rho (\Vert z{\Vert }^2)$, qui est C1 sur ${\mathbb{R}}^2$ puisque $z\mapsto \Vert z{\Vert }^2$ est polynomiale. Sur ${\Omega }^{\prime }$, $\Vert z{\Vert }^2$ appartient à $]1,4[\cup ]9,16[$, où $\rho$ est localement constante : $\mathrm{d}f=0$ sur ${\Omega }^{\prime }$. Pourtant $f$ vaut $0$ sur la première couronne et $1$ sur la seconde : elle n'est pas constante sur ${\Omega }^{\prime }$. Une différentielle nulle ne donne qu'une constante par composante connexe.

Le point délicat : la formule intégrale exige un arc de classe C1 tracé DANS l'ouvert. Deux fautes guettent. La première est d'invoquer le théorème du cours sans remarquer qu'il a été démontré pour un convexe : c'est le mot « convexe » qui interdit la citation directe. La seconde est de croire qu'il suffit de « joindre les deux points » : il faut vérifier, ligne par ligne, que l'arc reste dans $\Omega$ — ici par la convexité de l'intervalle des rayons — et qu'il est dérivable, faute de quoi la formule intégrale n'a pas de sens.

Ce que l'exercice installe. « Différentielle nulle, donc constante » est un énoncé topologique autant que différentiel : il dit que l'information locale (la différentielle) ne se recolle en information globale (la constante) que le long de chemins. Le réflexe à garder : pour un ouvert non convexe, on construit un arc explicite, souvent dans les coordonnées adaptées à la forme du domaine — polaires pour une couronne, cylindriques pour un tube. Et le contre-exemple rappelle que le théorème compte une constante par composante connexe, ce qui est exactement la structure de l'espace des solutions de l'équation $\mathrm{d}f=0$.