Étude complète d'une fonction de deux variables

Points critiques : $\nabla f=(3x^2-3y,3y^2-3x)=0$ donne $y=x^2$ et $x=y^2$, donc $x=x^4$, soit $x\in \{0,1\}$ : points critiques $(0,0)$ et $(1,1)$. Hessienne : $H_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}6x& -3\\ -3& 6y\end{array}\right)$. En $(1,1)$ : $\det H=36-9=27>0$ et $\mathrm{tr}H=12>0$ : minimum local strict, de valeur $f(1,1)=-1$. En $(0,0)$ : $\det H=-9<0$ : point selle, pas d'extremum. Global : $f(x,0)=x^3\to \pm \infty$ : $f$ n'est ni minorée ni majorée — aucun extremum global. (Le déroulé canonique : gradient, hessienne, trace/déterminant, puis un regard global — un minimum local peut très bien coexister avec une fonction non minorée.)