L'équation des ondes et la formule de d'Alembert

La stratégie : un changement de variables redresse l'équation. L'équation mélange les deux dérivées secondes ; dans les bonnes variables elle devient ${\partial }_u{\partial }_{v}g=0$, qui s'intègre deux fois. Le changement de variables est inversible et affine : $x=\frac{u+v}{2}$, $t=\frac{u-v}{2c}$, de sorte qu'on passe de $f$ à $g$ et de $g$ à $f$ sans perte, et que $g$ est C2 si et seulement si $f$ l'est (composée d'une application C2 et d'une application linéaire).

1) Le calcul des dérivées. Posons $g(u,v)=f(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2c})$, de sorte que $f(x,t)=g(x+ct,x-ct)$. Par la règle de la chaîne appliquée à $f(x,t)=g(u(x,t),v(x,t))$ avec ${\partial }_{x}u=1$, ${\partial }_{x}v=1$, ${\partial }_{t}u=c$, ${\partial }_{t}v=-c$ : $${\partial }_{x}f={\partial }_{u}g+{\partial }_{v}g,{\partial }_{t}f=c{\partial }_{u}g-c{\partial }_{v}g.$$ En dérivant une seconde fois, et en utilisant le théorème de Schwarz — licite puisque $g$ est de classe C2 — pour identifier ${\partial }_u{\partial }_{v}g$ et ${\partial }_v{\partial }_{u}g$ : $${\partial }_x^{2}f={\partial }_u^{2}g+2{\partial }_u{\partial }_{v}g+{\partial }_v^{2}g,{\partial }_t^{2}f=c^2({\partial }_u^{2}g-2{\partial }_u{\partial }_{v}g+{\partial }_v^{2}g).$$ D'où $${\partial }_t^{2}f-c^2{\partial }_x^{2}f=-4c^2{\partial }_u{\partial }_{v}g.$$ Comme $c>0$, l'équation des ondes équivaut à $${\partial }_u{\partial }_{v}g=0\text{sur }{\mathbb{R}}^2.$$

2) L'intégration, en deux temps. Posons $h={\partial }_{u}g$, qui est de classe C1. L'équation dit ${\partial }_{v}h=0$ sur ${\mathbb{R}}^2$ : pour chaque $u$ fixé, la fonction d'une variable $v\mapsto h(u,v)$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc est constante. Il existe donc $\alpha$ telle que $h(u,v)=\alpha (u)$ pour tout $(u,v)$, et $\alpha (u)=h(u,0)={\partial }_{u}g(u,0)$ est de classe C1.

Soit $F$ la primitive de $\alpha$ nulle en $0$ : $F$ est de classe C2. Alors ${\partial }_u(g(u,v)-F(u))=\alpha (u)-\alpha (u)=0$ pour tout $(u,v)$ : pour chaque $v$ fixé, $u\mapsto g(u,v)-F(u)$ est constante sur $\mathbb{R}$. En notant $G(v)=g(0,v)-F(0)=g(0,v)$, de classe C2, on obtient $g(u,v)=F(u)+G(v)$.

3) Conclusion, et réciproque. $$f(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct),F,G\in {\mathcal{C}}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}).$$ Réciproquement, toute fonction de cette forme est C2 et vérifie ${\partial }_t^{2}f=c^2{F}^{\prime \prime }+c^2{G}^{\prime \prime }=c^2{\partial }_x^{2}f$. La solution générale est la superposition de deux ondes rigides se propageant en sens opposés à la vitesse $c$ : $F(x+ct)$ va vers la gauche, $G(x-ct)$ vers la droite, chacune sans se déformer.

4) Le problème de Cauchy et la formule de d'Alembert. Soient $\phi \in {\mathcal{C}}^2$ et $\psi \in {\mathcal{C}}^1$. Les conditions $f(x,0)=\phi (x)$ et ${\partial }_{t}f(x,0)=\psi (x)$ s'écrivent $$F(x)+G(x)=\phi (x),c{F}^{\prime }(x)-c{G}^{\prime }(x)=\psi (x).$$ La seconde donne $F^{\prime }(x)-G^{\prime }(x)=\frac{\psi (x)}{c}$, donc en intégrant de $0$ à $x$ : $F(x)-G(x)=F(0)-G(0)+\frac{1}{c}{\int }_0^x\psi$. En notant $K=F(0)-G(0)$ et en résolvant le système : $$F(x)=\frac{\phi (x)}{2}+\frac{1}{2c}{\int }_0^x\psi +\frac{K}{2},G(x)=\frac{\phi (x)}{2}-\frac{1}{2c}{\int }_0^x\psi -\frac{K}{2}.$$ En reportant, les constantes $\frac{K}{2}$ se détruisent et $$f(x,t)=\frac{\phi (x+ct)+\phi (x-ct)}{2}+\frac{1}{2c}{\int }_{x-ct}^{x+ct}\psi (s)\mathrm{d}s,$$ puisque ${\int }_0^{x+ct}\psi -{\int }_0^{x-ct}\psi ={\int }_{x-ct}^{x+ct}\psi$. C'est la formule de d'Alembert, et elle montre au passage l'unicité de la solution du problème de Cauchy.

Le point délicat : « dérivée nulle donc constante » se fait à une variable gelée, et il faut une PRIMITIVE de classe C1. L'équation ${\partial }_{v}h=0$ ne dit pas que $h$ est constante, mais qu'elle ne dépend que de $u$ — et cela se démontre en gelant $u$ et en appliquant le résultat d'une variable sur l'intervalle $\mathbb{R}$. Deuxième précaution, souvent omise : il faut savoir que $\alpha$ est C1 pour que $F$ soit C2, sans quoi la « solution » trouvée ne serait pas dans l'espace où l'on cherche. C'est l'évaluation $\alpha (u)={\partial }_{u}g(u,0)$ qui le donne.

Contrôle. Prenons $\phi (x)=e^{-x^2}$ et $\psi =0$ : la formule donne $f(x,t)=\frac{e^{-(x+ct{)}^2}+e^{-(x-ct{)}^2}}{2}$, soit la bosse initiale coupée en deux moitiés qui s'éloignent à la vitesse $c$. En $t=0$ on retrouve bien $e^{-x^2}$, et ${\partial }_{t}f(x,0)=\frac{-2c(x+ct)e^{-(x+ct{)}^2}+2c(x-ct)e^{-(x-ct{)}^2}}{2}$ vaut $0$ en $t=0$. On lit aussi sur la formule la vitesse finie de propagation : $f(x,t)$ ne dépend de $\phi$ qu'aux deux points $x\pm ct$ et de $\psi$ que sur le segment $[x-ct,x+ct]$ — une perturbation initiale localisée n'est ressentie en $x$ qu'à partir de l'instant où l'onde a parcouru la distance.

Ce que l'exercice installe. Un changement de variables ne « simplifie » pas une équation aux dérivées partielles : il la redresse, en alignant les nouvelles variables sur les directions dans lesquelles l'information se propage — ici les droites $x\pm ct$ constantes, appelées caractéristiques. Une fois l'équation écrite ${\partial }_u{\partial }_{v}g=0$, elle n'a plus de contenu que celui d'une double intégration. Le réflexe technique à retenir : dériver deux fois par la chaîne, invoquer Schwarz pour fusionner les croisées, puis intégrer variable par variable en justifiant à chaque fois la constance sur un intervalle.