L'inégalité arithmético-géométrique par le multiplicateur de Lagrange

La stratégie : compacité d'abord, Lagrange ensuite — et le bord à part. Le théorème de Lagrange est une condition nécessaire : il ne prouve l'existence de rien. Il faut donc, dans l'ordre : établir qu'un maximum existe, par compacité ; vérifier qu'il n'est pas atteint au bord du domaine, sans quoi les hypothèses du théorème ne seraient pas remplies ; résoudre le système de Lagrange ; comparer les valeurs. C'est exactement la méthode pratique du cours, et aucun de ses quatre temps ne se saute.

1) Existence du maximum. Posons $$K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x+y+z=3,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\},$$ le simplexe fermé. $K$ est fermé comme intersection de quatre fermés : l'image réciproque du fermé $\{3\}$ par l'application continue $(x,y,z)\mapsto x+y+z$, et trois demi-espaces fermés. Il est borné : chaque coordonnée est comprise entre $0$ et $3$, donc $\Vert (x,y,z)\Vert \le 3\sqrt{3}$. Fermé borné en dimension finie, $K$ est compact (chapitre 4), et $p$ y est continue (polynomiale) : $p$ atteint sur $K$ un maximum.

2) Le maximum n'est pas au bord. Si l'une des coordonnées est nulle, $p=0$. Or $(1,1,1)\in K$ et $p(1,1,1)=1>0$. Donc le maximum vaut au moins $1$ et n'est pas atteint sur le bord $\{xyz=0\}$ : tout point où il est atteint a ses trois coordonnées strictement positives.

3) Le système de Lagrange. Plaçons-nous sur l'ouvert $\Omega =({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^3$ et posons $g(x,y,z)=x+y+z-3$. Les fonctions $p$ et $g$ sont de classe C1 sur $\Omega$, et $$\nabla g=(1,1,1)\ne 0\text{en tout point}:$$ la contrainte est qualifiée partout, et l'hypothèse $\mathrm{d}g\ne 0$ du théorème est vérifiée. Soit $(a,b,c)\in \Omega$ un point où le maximum est atteint : c'est un maximum de $p$ restreinte à $X=\{g=0\}\cap \Omega$, donc le théorème d'optimisation sous contrainte fournit un réel $\lambda$ avec $\nabla p=\lambda \nabla g$, c'est-à-dire $$(bc,ac,ab)=\lambda (1,1,1),\text{soit}bc=ac=ab=\lambda .$$ De $bc=ac$ on tire $c(b-a)=0$, donc $b=a$ puisque $c>0$ ; de $ac=ab$ on tire $a(c-b)=0$, donc $c=b$ puisque $a>0$. Avec la contrainte $a+b+c=3$ : $a=b=c=1$.

4) Conclusion. Le maximum est atteint au seul point $(1,1,1)$ et vaut $$\underset{K}{\max }p=p(1,1,1)=1.$$ Donc, pour tous $x,y,z\ge 0$ de somme $3$ : $xyz\le 1$.

Le passage au cas général. Soient $x,y,z\ge 0$ quelconques. Si $x+y+z=0$, les trois sont nuls et l'inégalité est une égalité triviale. Sinon, posons $s=\frac{x+y+z}{3}>0$ et $X=\frac{x}{s}$, $Y=\frac{y}{s}$, $Z=\frac{z}{s}$ : ces trois nombres sont positifs de somme $3$, donc $XYZ\le 1$, c'est-à-dire $\frac{xyz}{s^3}\le 1$ et $$xyz\le s^3={\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^3,\text{soit}\sqrt[3]{xyz}\le \frac{x+y+z}{3}.$$

Le cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si $XYZ=1={\max }_{K}p$, c'est-à-dire si $(X,Y,Z)$ est un point où le maximum est atteint. Or le 2) montre qu'un tel point a ses coordonnées strictement positives, donc vérifie le système de Lagrange, donc vaut $(1,1,1)$ par le 3). D'où $X=Y=Z=1$, c'est-à-dire $x=y=z$ — et réciproquement l'égalité est évidente dans ce cas.

Le point délicat : Lagrange ne prouve pas l'existence, et il ne s'applique pas au bord. Deux fautes symétriques. La première consiste à résoudre le système, à trouver $(1,1,1)$ et à conclure « c'est donc le maximum » : sans le théorème des bornes atteintes, rien ne dit qu'il y ait un maximum, et le point critique lié pourrait être un minimum ou ni l'un ni l'autre. La seconde consiste à travailler d'emblée sur le compact $K$ : le théorème de Lagrange exige un ouvert, et les points du bord de $K$ n'y sont pas intérieurs — c'est pourquoi on traite le bord séparément (où $p=0$) avant de se placer sur $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^3$.

Contrôle chiffré. Sur le plan $x+y+z=3$ : $p(1,1,1)=1$ ; $p(1,2;0,9;0,9)=0,972$ ; $p(1,5;1;0,5)=0,75$ ; $p(2;0,5;0,5)=0,5$ ; $p(2,9;0,05;0,05)=0,00725$. Toutes ces valeurs sont $<1$, et elles décroissent à mesure qu'on s'écarte de $(1,1,1)$. Sur un cas non normalisé : $x=1$, $y=4$, $z=10$ donnent $\sqrt[3]{40}=3,4200$ et $\frac{15}{3}=5$ — l'inégalité est large, comme il se doit puisque les trois nombres diffèrent beaucoup.

Ce que l'exercice installe. Une inégalité est un problème d'optimisation, et c'est souvent la seule façon de la démontrer sans astuce. La recette est invariable : homogénéiser pour se ramener à une contrainte, compacifier pour obtenir l'existence, traiter le bord, appliquer Lagrange à l'intérieur, comparer les valeurs. Elle s'étend telle quelle à $n$ variables et donne l'inégalité arithmético-géométrique générale ; et le cas d'égalité, souvent le plus difficile à obtenir par des manipulations algébriques, tombe ici gratuitement, parce que Lagrange a produit un seul point critique lié.