mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 11 · Exercice classique

La réciproque de la relation d'Euler

Calcul différentiel et optimisation · B. Règle de la chaîne et équations aux dérivées partielles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Réciproque d'Euler : soit $f \in C^{1}$ sur $(R_{+}^{*})^{2}$ vérifiant $x \partial_{x} f + y \partial_{y} f = α f$ . Montrer que $f$ est homogène de degré $α$ (fixer $(x, y)$ et étudier $g (t) = t^{- α} f (t x, t y)$ : $g^{'} (t) = 0$ sur l'intervalle $] 0, + \infty [$ , donc $g$ constante $= g (1)$ ).

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