mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 11 · Exercice de TD

Les deux différentielles matricielles, et la formule de Jacobi

Calcul différentiel et optimisation · A. Dérivées partielles et différentielle · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Montrer que $det : M_{n} (R) \to R$ est différentiable et que $d (det) (I_{n}) \cdot H = tr H$ . b) Montrer que $inv : A \mapsto A^{- 1}$ est différentiable sur l'ouvert $GL_{n} (R)$ , avec $d (inv) (A) \cdot H = - A^{- 1} H A^{- 1}$ . c) Soit $A \in GL_{n} (R)$ . En écrivant $det (A + H) = det (A) det (I_{n} + A^{- 1} H)$ , montrer la formule de Jacobi $d (det) (A) \cdot H = det (A) tr (A^{- 1} H)$ . En déduire $det (e^{A}) = e^{tr A}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie : ne pas écrire une seule coordonnée. L'espace de départ est $M_{n} (R)$ , de dimension $n^{2}$ : écrire la matrice jacobienne serait un désastre. On utilise à la place les deux outils du cours qui ne demandent aucune base : la multilinéarité ( $det$ est $n$ -linéaire par rapport aux colonnes) et la règle de dérivation d'une application multilinéaire (une position à la fois).

a) La différentielle du déterminant en l'identité. Notons $e_{1}, \dots, e_{n}$ les colonnes de $I_{n}$ et $H_{1}, \dots, H_{n}$ celles de $H$ . Le déterminant étant $n$ -linéaire en les colonnes, on développe $det (I_{n} + H) = det (e_{1} + H_{1}, \dots, e_{n} + H_{n})$ en $2^{n}$ termes, un par choix, dans chaque position, de $e_{j}$ ou de $H_{j}$ :

le terme sans aucun $H$ vaut $det (I_{n}) = 1$ ;
le terme où $H$ n'apparaît qu'en position $j$ vaut $det (e_{1}, \dots, H_{j}, \dots, e_{n})$ . En développant cette colonne, $H_{j} = \sum_{i} h_{ij} e_{i}$ , on obtient $\sum_{i} h_{ij} det (e_{1}, \dots, e_{i}, \dots, e_{n})$ où $e_{i}$ occupe la place $j$ : ce déterminant est nul si $i \neq = j$ (deux colonnes égales) et vaut $1$ si $i = j$ . Le terme vaut donc $h_{j j}$ , et leur somme vaut $tr H$ ;
tout terme contenant $H$ dans au moins deux positions est, par multilinéarité, une somme de produits d'au moins deux coefficients de $H$ : il est majoré par une constante fois $∥ H ∥^{2}$ , donc négligeable devant $∥ H ∥$ .

D'où $det (I_{n} + H) = 1 + tr H + o (∥ H ∥)$ , avec $H \mapsto tr H$ linéaire : $det$ est différentiable en $I_{n}$ et $d (det) (I_{n}) \cdot H = tr H$ . (Que $det$ soit différentiable partout est acquis d'avance : c'est une fonction polynomiale des $n^{2}$ coefficients, donc de classe C∞.)

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $inv : A \mapsto A^{- 1}$ est différentiable sur l'ouvert $GL_{n} (R)$ , avec $d (inv) (A) \cdot H = - A^{- 1} H A^{- 1}$ .

Élève

J'essaie de développer $(A + H)^{- 1}$ à l'ordre $1$ en $H$ , mais je ne sais pas inverser $A + H$ explicitement.

Sépare les deux tâches : d'abord, pourquoi $inv$ est-elle différentiable, en regardant les coefficients de $A^{- 1}$ comme fonctions de ceux de $A$ ? Ensuite, quelle identité vérifiée par $A^{- 1}$ pourrais-tu différentier ?

Élève

Par la comatrice, les coefficients de $A^{- 1}$ sont des fractions rationnelles dont le dénominateur $det A$ ne s'annule pas sur $GL_{n} (R)$ . Et l'identité serait $inv (A) A = I_{n}$ , constante.

Comment différentier $A \mapsto inv (A) A$ , vue comme composée d'une application bilinéaire et de $A \mapsto (inv (A), A)$ ? Une fois l'identité différentiée, comment isoles-tu $d (inv) (A) \cdot H$ , sachant que les matrices ne commutent pas ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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