Les deux différentielles matricielles, et la formule de Jacobi

La stratégie : ne pas écrire une seule coordonnée. L'espace de départ est ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, de dimension $n^2$ : écrire la matrice jacobienne serait un désastre. On utilise à la place les deux outils du cours qui ne demandent aucune base : la multilinéarité ($\det$ est $n$-linéaire par rapport aux colonnes) et la règle de dérivation d'une application multilinéaire (une position à la fois).

a) La différentielle du déterminant en l'identité. Notons $e_1,\dots ,e_n$ les colonnes de $I_n$ et $H_1,\dots ,H_n$ celles de $H$. Le déterminant étant $n$-linéaire en les colonnes, on développe $\det (I_n+H)=\det (e_1+H_1,\dots ,e_n+H_n)$ en $2^n$ termes, un par choix, dans chaque position, de $e_j$ ou de $H_j$ :

• le terme sans aucun $H$ vaut $\det (I_n)=1$ ;
• le terme où $H$ n'apparaît qu'en position $j$ vaut $\det (e_1,\dots ,H_j,\dots ,e_n)$. En développant cette colonne, $H_j={\sum }_i{h}_{ij}{e}_i$, on obtient ${\sum }_i{h}_{ij}\det (e_1,\dots ,e_i,\dots ,e_n)$ où $e_i$ occupe la place $j$ : ce déterminant est nul si $i\ne j$ (deux colonnes égales) et vaut $1$ si $i=j$. Le terme vaut donc $h_{jj}$, et leur somme vaut $\mathrm{tr}H$ ;
• tout terme contenant $H$ dans au moins deux positions est, par multilinéarité, une somme de produits d'au moins deux coefficients de $H$ : il est majoré par une constante fois $\Vert H{\Vert }^2$, donc négligeable devant $\Vert H\Vert$.

D'où $\det (I_n+H)=1+\mathrm{tr}H+o(\Vert H\Vert )$, avec $H\mapsto \mathrm{tr}H$ linéaire : $\det$ est différentiable en $I_n$ et $\mathrm{d}(\det )(I_n)\cdot H=\mathrm{tr}H$. (Que $\det$ soit différentiable partout est acquis d'avance : c'est une fonction polynomiale des $n^2$ coefficients, donc de classe C∞.)

b) La différentielle de l'inversion. D'abord, $\mathrm{inv}$ est différentiable. La formule de la comatrice donne $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{com}(A{)}^{\mathsf{T}}$ : chaque coefficient de $A^{-1}$ est une fraction rationnelle des coefficients de $A$, de dénominateur $\det A$, qui ne s'annule pas sur ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$. Or ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})={\det }^{-1}(\mathbb{R}\setminus \{0\})$ est ouvert, image réciproque d'un ouvert par une application continue (chapitre 4). Donc $\mathrm{inv}$ est de classe C∞ sur cet ouvert.

Ensuite, on différentie l'identité. Considérons $\phi :A\mapsto \mathrm{inv}(A)\cdot A$, qui est constante égale à $I_n$ sur ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$. C'est l'application $A\mapsto M(\mathrm{inv}(A),A)$ où $M(U,V)=UV$ est bilinéaire ; la règle de dérivation d'une application multilinéaire, une position à la fois, donne $$0=\mathrm{d}\phi (A)\cdot H=(\mathrm{d}(\mathrm{inv})(A)\cdot H)A+A^{-1}H.$$ En multipliant à droite par $A^{-1}$ : $$\mathrm{d}(\mathrm{inv})(A)\cdot H=-A^{-1}H{A}^{-1}.$$ (En dimension $1$, cela redonne la dérivée de $x\mapsto \frac{1}{x}$, à savoir $-\frac{1}{x^2}$ : la formule matricielle n'est pas $-\frac{H}{A^2}$, elle encadre $H$ par les deux inverses, faute de commutativité.)

c) La formule de Jacobi. Pour $A$ inversible, $A+H=A(I_n+A^{-1}H)$, donc par multiplicativité du déterminant et par le a) appliqué à la matrice $A^{-1}H$ : $$\det (A+H)=\det (A)\det (I_n+A^{-1}H)=\det (A)(1+\mathrm{tr}(A^{-1}H)+o(\Vert A^{-1}H\Vert \left)\right).$$ L'application $H\mapsto A^{-1}H$ est linéaire en dimension finie, donc continue, et $\Vert A^{-1}H\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \Vert H\Vert$ pour une norme d'algèbre : $o(\Vert A^{-1}H\Vert )=o(\Vert H\Vert )$. Comme $H\mapsto \det (A)\mathrm{tr}(A^{-1}H)$ est linéaire, $$\mathrm{d}(\det )(A)\cdot H=\det (A)\mathrm{tr}\left(A^{-1}H\right).$$

Conséquence : $\det (e^A)=e^{\mathrm{tr}A}$. Posons $\phi (t)=\det \left(e^{tA}\right)$ pour $t\in \mathbb{R}$. L'application $t\mapsto e^{tA}$ est de classe C∞ de dérivée $A{e}^{tA}$ (chapitre 10), et elle est à valeurs dans ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ puisque $e^{tA}$ a pour inverse $e^{-tA}$. Par la règle de la chaîne, $\phi$ est dérivable et $${\phi }^{\prime }(t)=\mathrm{d}(\det )\left(e^{tA}\right)\cdot \left(A{e}^{tA}\right)=\det \left(e^{tA}\right)\mathrm{tr}\left(e^{-tA}A{e}^{tA}\right)=\phi (t)\mathrm{tr}(A),$$ car $A$ commute avec son exponentielle, donc $e^{-tA}A{e}^{tA}=A$. Ainsi ${\phi }^{\prime }=\mathrm{tr}(A)\phi$ avec $\phi (0)=\det (I_n)=1$ : par unicité dans le théorème de Cauchy, $\phi (t)=e^{t\mathrm{tr}A}$, et en $t=1$, $\det (e^A)=e^{\mathrm{tr}A}$.

Le point délicat : la multilinéarité se manipule par positions, pas par coefficients. L'erreur classique, dans le a), est de développer $\det (I_n+H)$ par la formule de Leibniz sur les $n!$ permutations : exact, mais illisible. Le développement par colonnes range au contraire les termes selon le nombre de facteurs $H$, ce qui sépare d'un coup le terme constant, le terme linéaire et le reste — le même geste que pour dériver un produit de $p$ fonctions.

Contrôle chiffré. Prenons $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$, de déterminant $-2$ et d'inverse $\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1,5& -0,5\end{array}\right)$, et $H=\left(\begin{array}{cc}0,001& 0,002\\ -0,001& 0,0005\end{array}\right)$. Alors $\det (A+H)=1,001\times 4,0005-2,002\times 2,999=-1,9994975$, soit un accroissement de $0,00050250$, quand la formule de Jacobi prévoit $\det (A)\mathrm{tr}(A^{-1}H)=-2\times (-0,00025)=0,00050000$ : l'écart, $2,5\cdot 10^{-6}$, est bien du second ordre. En $A=I_2$ avec $H=\left(\begin{array}{cc}0,01& 0,02\\ 0,03& 0,04\end{array}\right)$, on a $\det (I_2+H)=1,0498$ contre $1+\mathrm{tr}H=1,05$, la différence valant exactement $\det H=-0,0002$ : c'est l'identité $\det (I_2+H)=1+\mathrm{tr}H+\det H$, propre à la dimension $2$.

Ce que l'exercice installe. Trois formules — $\mathrm{d}\det (I)\cdot H=\mathrm{tr}H$, $\mathrm{d}\mathrm{inv}(A)\cdot H=-A^{-1}H{A}^{-1}$, $\mathrm{d}\det (A)\cdot H=\det (A)\mathrm{tr}(A^{-1}H)$ — et une méthode : on différentie une identité entre applications, et la règle du produit fait apparaître l'inconnue. La trace est la différentielle du déterminant, ce qui explique la parenté des deux invariants : le déterminant est multiplicatif, sa version infinitésimale est additive.