Optimisation sous contrainte

Existence : $X$ est compact (fermé borné de ${\mathbb{R}}^2$, chapitre 4) et $f$ continue : les bornes sont atteintes. Multiplicateur : $g(x,y)=x^2+y^2-1$, $\nabla g=(2x,2y)\ne 0$ sur $X$. En un extremum lié : $\nabla f=\lambda \nabla g$, soit $$(y,x)=\lambda (2x,2y)⟹y=2\lambda x,x=2\lambda y⟹x=4{\lambda }^{2}x.$$ Si $x=0$ alors $y=0$ : exclu (hors de $X$). Donc $\lambda =\pm \frac{1}{2}$, c'est-à-dire $y=\pm x$, et avec la contrainte : les quatre points $\pm (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$, $\pm (\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$. Comparaison : $f=\frac{1}{2}$ aux deux premiers, $f=-\frac{1}{2}$ aux deux autres : le maximum de $xy$ sur le cercle unité est $\frac{1}{2}$, le minimum $-\frac{1}{2}$. (Au passage : $|xy|\le \frac{x^2+y^2}{2}$ est redémontrée géométriquement — les lignes de niveau hyperboliques de $xy$ touchent le cercle là où elles lui sont tangentes, sur les bissectrices.)