Décomposition D + N et puissances

${\chi }_A=(X-2{)}^2$, $E_2=\mathrm{Vect}(e_1)$ (dimension $1$ : non diagonalisable). Le sous-espace caractéristique est $N_2=\mathrm{Ker}(A-2I{)}^2=\mathrm{Ker}(0)={\mathbb{R}}^2$ tout entier — la décomposition en sous-espaces caractéristiques est ici triviale, et la structure annoncée par le théorème est visible : $$A=\underset{D}{\underbrace{2I_2}}+\underset{N}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)}},N^2=0,DN=ND.$$ Le binôme (licite : $D$ et $N$ commutent — première année) ne garde que deux termes : $$A^n=(2I+N{)}^n=2^{n}I+n{2}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right).$$ (Contrôle $n=1$ ✓. La méthode « $\lambda I+N$ » de première année trouve ici sa justification générale : tout endomorphisme à $\chi$ scindé se décompose ainsi bloc par bloc — c'est le théorème des sous-espaces caractéristiques.)