Diagonalisation complète en dimension 3

$A=J-I_3$ où $J$ est la matrice de uns. Plutôt que le déterminant : $J$ vérifie $J^2=3J$, et ses valeurs propres sont $3$ (vecteur $(1,1,1)$) et $0$ (le noyau de $J$ : le plan $x+y+z=0$, de dimension $2$). Donc $\mathrm{Sp}(A)=\{2,-1\}$ : $$E_2(A)=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),E_{-1}(A)=\{x+y+z=0\}=\mathrm{Vect}\left(\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\right).$$ $1+2=3$ : diagonalisable, $A=P\mathrm{diag}(2,-1,-1)P^{-1}$. (Contrôles : $\mathrm{tr}A=0=2-1-1$ ✓, $\det A=2\times 1=2$ ✓ — et ${\chi }_A=(X-2)(X+1{)}^2$ si on tient au déterminant.)