Diagonaliser sans rien calculer

Le polynôme $P=X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$ annule $A$ et est scindé à racines simples : par le critère algébrique, $A$ est diagonalisable, et $\mathrm{Sp}(A)\subset \{1,2\}$ (les valeurs propres sont racines de tout annulateur). Le lemme des noyaux précise : ${\mathbb{R}}^n=\mathrm{Ker}(A-I)\oplus \mathrm{Ker}(A-2I)$. Aucun calcul de $\chi$, aucun pivot : c'est toute la puissance de la voie algébrique — comparer avec l'effort qu'exigerait la voie géométrique sans connaître $A$ !