Fabriquer un annulateur scindé à racines simples

La stratégie, et les outils. On ne cherche pas à diagonaliser $u$ : on lui fabrique un annulateur scindé à racines simples, et le critère algébrique du cours fait le reste. L'annulateur se fabrique par composition : si $R$ annule $u^2$, alors $R\left(X^2\right)$ annule $u$. Toute la question est de savoir si cette composition préserve le caractère « scindé à racines simples » — et c'est là que les deux hypothèses, $u$ inversible et $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, interviennent chacune une fois.

a) Le polynôme minimal de $u^2$. Comme $u^2$ est diagonalisable, le critère algébrique donne : ${\mu }_{u^2}$ est scindé à racines simples. Écrivons $${\mu }_{u^2}=\prod _{i=1}^r\left(X-a_i\right),a_i\text{ deux aˋ deux distincts}.$$ Les racines de ${\mu }_{u^2}$ sont exactement les valeurs propres de $u^2$ (cours). Or $u$ est inversible, donc $u^2$ l'est aussi, donc $0$ n'est pas valeur propre de $u^2$ : tous les $a_i$ sont non nuls.

b) L'annulateur composé. Posons $Q(X)={\mu }_{u^2}\left(X^2\right)={\prod }_{i=1}^r\left(X^2-a_i\right)$. L'évaluation $P\mapsto P(u)$ étant un morphisme d'algèbres, $$Q(u)=\prod _{i=1}^r\left(u^2-a_i\mathrm{id}\right)={\mu }_{u^2}\left(u^2\right)=0.$$ Donc $Q$ annule $u$.

c) $Q$ est scindé à racines simples. Sur $\mathbb{C}$, chaque $a_i$, non nul, admet exactement deux racines carrées, $b_i$ et $-b_i$, avec $b_i\ne 0$ donc $b_i\ne -b_i$. D'où la factorisation $$Q=\prod _{i=1}^r\left(X-b_i\right)\left(X+b_i\right),$$ qui est scindée. Reste à voir que les $2r$ racines sont deux à deux distinctes. À l'intérieur d'un facteur, $b_i\ne -b_i$ : c'est acquis. Entre deux facteurs $i\ne j$ : si une racine $c$ était commune, on aurait $c^2=a_i$ et $c^2=a_j$, donc $a_i=a_j$, ce qui contredit la distinction des $a_i$. $Q$ est donc scindé à racines simples.

Le point délicat, et il est double. L'hypothèse « $u$ inversible » sert exactement ici : si l'un des $a_i$ était nul, le facteur $X^2-a_i$ vaudrait $X^2$, qui a une racine double, et tout s'effondrerait. L'hypothèse « sur $\mathbb{C}$ » sert aussi exactement ici : c'est elle qui garantit l'existence des racines carrées $b_i$.

d) La conclusion. Le polynôme $Q$ annule $u$ et est scindé à racines simples : par le critère algébrique de diagonalisabilité, $u$ est diagonalisable. (On en déduit au passage que ${\mu }_u$ divise $Q$, donc est lui aussi scindé à racines simples, contenues dans $\left\{\pm b_i\right\}$ : les valeurs propres de $u$ sont des racines carrées de celles de $u^2$, ce que l'exercice 5 annonçait.)

e) Les deux contre-exemples.

Sans inversibilité. Prenons $u$ de matrice $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, nilpotente d'indice $2$. Alors $u^2=0$, qui est diagonalisable — c'est même la matrice nulle, diagonale. Pourtant ${\mu }_u=X^2$ n'est pas à racines simples : $u$ n'est pas diagonalisable. Ici ${\mu }_{u^2}=X$, dont l'unique racine est nulle, et $Q=X^2$ a une racine double : le mécanisme du c) est en défaut.

Sur $\mathbb{R}$. Prenons $u$ de matrice $R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, qui est inversible ($\det R=1$). Alors $R^2=-I_2$, diagonale donc diagonalisable sur $\mathbb{R}$. Pourtant ${\chi }_R=X^2+1$ n'a pas de racine réelle : $u$ n'a aucune valeur propre réelle, donc $u$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$. Ici ${\mu }_{u^2}=X+1$, et $Q=X^2+1$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ : c'est l'autre hypothèse qui manque.

Ce que l'exercice installe. Un annulateur se compose : à partir d'un polynôme annulant $P(u)$, on en fabrique un annulant $u$ en substituant. C'est l'une des rares techniques qui permettent de conclure sur $u$ à partir d'une information sur $u^2$, $u^3$ ou $P(u)$, là où la voie géométrique ne dit rien. Et retenez la discipline de l'exercice : chaque hypothèse sert une fois, à un endroit identifiable, et un contre-exemple montre ce qui tombe quand on la retire.