La matrice compagnon : ${\chi }_C={\mu }_C=P$

La stratégie, et les outils. Un déterminant $3\times 3$ mené proprement, puis une lecture à l'envers : le résultat n'est pas « voici ${\chi }_C$ », mais « tout polynôme unitaire est un $\chi$ ». Pour le c), l'argument du vecteur cyclique : si les itérés d'un vecteur engendrent l'espace, aucun polynôme de petit degré ne peut annuler la matrice.

a) Le calcul. Avec la convention ${\chi }_C=\det \left(X{I}_3-C\right)$ du cours, $$X{I}_3-C=\left(\begin{array}{ccc}X& 0& a_0\\ -1& X& a_1\\ 0& -1& X+a_2\end{array}\right).$$ Développons selon la première ligne, en respectant les signes des cofacteurs : $${\chi }_C=X\left|\begin{array}{cc}X& a_1\\ -1& X+a_2\end{array}\right|+a_0\left|\begin{array}{cc}-1& X\\ 0& -1\end{array}\right|.$$ Les deux mineurs valent $X(X+a_2)+a_1=X^2+a_{2}X+a_1$ et $(-1)(-1)-0=1$, d'où $${\chi }_C=X\left(X^2+a_{2}X+a_1\right)+a_0=X^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0.$$

b) La lecture à l'envers. Le polynôme caractéristique de $C$ est exactement le polynôme unitaire dont on a rangé les coefficients dans la dernière colonne, au signe près. Autrement dit : tout polynôme unitaire de degré $3$ est un polynôme caractéristique. Il n'existe donc aucune contrainte cachée sur un polynôme caractéristique au-delà d'être unitaire de degré $n$, et l'on peut fabriquer sur commande une matrice de spectre imposé.

La construction se généralise : pour $P=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$, la matrice compagnon $$C_P=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& & \ddots & 0& -a_{n-2}\\ 0& \cdots & 0& 1& -a_{n-1}\end{array}\right)$$ vérifie ${\chi }_{C_P}=P$, par la même récurrence sur le développement selon la première ligne.

c) Le vecteur cyclique, et ${\mu }_C={\chi }_C$. En lisant les colonnes de $C$ : la première colonne est $e_2$, donc $C{e}_1=e_2$ ; la deuxième est $e_3$, donc $C{e}_2=e_3$, c'est-à-dire $C^2{e}_1=e_3$. Ainsi $$\left(e_1,C{e}_1,C^2{e}_1\right)=\left(e_1,e_2,e_3\right)$$ est la base canonique : c'est bien une base.

Soit maintenant $Q=q_0+q_{1}X+q_2{X}^2$ un polynôme de degré au plus $2$ annulant $C$. Alors $$0=Q(C)e_1=q_0{e}_1+q_{1}C{e}_1+q_2{C}^2{e}_1=q_0{e}_1+q_1{e}_2+q_2{e}_3,$$ et la liberté de la base force $q_0=q_1=q_2=0$ : $Q=0$. Aucun polynôme non nul de degré au plus $2$ n'annule $C$, donc $\mathrm{deg}{\mu }_C\ge 3$. Comme ${\mu }_C$ divise ${\chi }_C$ (Cayley-Hamilton, admis par le programme) et que les deux sont unitaires de degré $3$, $${\mu }_C={\chi }_C=P.$$

d) La diagonalisabilité. Le critère algébrique du cours dit qu'une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples. Ici ${\mu }_C=P$, donc $$C\text{ est diagonalisable}⟺P\text{ est scindeˊ aˋ racines simples}.$$ C'est l'outil pour fabriquer des contre-exemples sur mesure : la compagnon de $(X-1{)}^2(X-2)$ n'est pas diagonalisable, et l'on sait pourquoi sans calculer un seul sous-espace propre.

e) Le contrôle numérique. Avec $a_0=-6$, $a_1=11$, $a_2=-6$, $$C=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 1& 0& -11\\ 0& 1& 6\end{array}\right),{\chi }_C=X^3-6X^2+11X-6=(X-1)(X-2)(X-3).$$ Deux vérifications indépendantes : $\mathrm{tr}C=0+0+6=6$, et la somme des racines vaut $1+2+3=6$ ✓ ; $\det C=6$ (développement selon la première ligne : $6\times \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=6$), et le produit des racines vaut $1\times 2\times 3=6$ ✓. Le polynôme étant scindé à racines simples, cette compagnon-là est diagonalisable.

Ce que l'exercice installe. D'abord, $\chi$ ne connaît aucune contrainte : la question du cours, « que vaut ${\chi }_A$ ? », se renverse en « quels polynômes sont des $\chi$ ? », et la réponse est « tous les unitaires ». Ensuite, le cas $\mu =\chi$, dit cyclique, existe en toute dimension, et il se reconnaît à un vecteur dont les itérés forment une base. Enfin, la compagnon est la traduction matricielle d'une récurrence linéaire : le système $x_{k+1}=C{x}_k$ code exactement $u_{k+3}=-a_2{u}_{k+2}-a_1{u}_{k+1}-a_0{u}_k$, et son polynôme caractéristique est l'équation caractéristique de la récurrence.