Le commutant d'une matrice à spectre simple

La stratégie, et les outils. On dispose d'une inclusion facile, $\mathbb{K}[A]\subset \mathcal{C}(A)$, entre deux sous-espaces vectoriels : il suffit donc de montrer qu'ils ont la même dimension. On calcule celle du commutant en se ramenant au cas diagonal par conjugaison, et celle de $\mathbb{K}[A]$ par le théorème du cours, $\dim \mathbb{K}[A]=\mathrm{deg}{\mu }_A$.

a) Le commutant est une sous-algèbre. Elle contient $I_n$. Elle est stable par combinaison linéaire : si $AM=MA$ et $AN=NA$, alors $A(\alpha M+\beta N)=\alpha AM+\beta AN=(\alpha M+\beta N)A$. Elle est stable par produit : $$A(MN)=(AM)N=(MA)N=M(AN)=M(NA)=(MN)A.$$ C'est donc une sous-algèbre. Enfin $A$ commute avec toutes ses puissances et avec $I_n$, donc avec tout polynôme en $A$ : $\mathbb{K}[A]\subset \mathcal{C}(A)$.

b) Le cas diagonal. Soit $M=\left(m_{ij}\right)$. On calcule coefficient par coefficient : $$(MD{)}_{ij}=\sum _k{m}_{ik}{d}_{kj}=m_{ij}{\lambda }_j,(DM{)}_{ij}=\sum _k{d}_{ik}{m}_{kj}={\lambda }_i{m}_{ij},$$ donc $$(MD-DM{)}_{ij}=m_{ij}\left({\lambda }_j-{\lambda }_i\right).$$ Comme les ${\lambda }_i$ sont deux à deux distincts, le facteur ${\lambda }_j-{\lambda }_i$ est non nul dès que $i\ne j$. Ainsi $MD=DM$ équivaut à $m_{ij}=0$ pour tous $i\ne j$, c'est-à-dire à $M$ diagonale. L'espace des matrices diagonales est de dimension $n$ : $$\mathcal{C}(D)=\left\{\text{matrices diagonales}\right\},\dim \mathcal{C}(D)=n.$$ (Lecture géométrique : les sous-espaces propres de $D$ sont les droites $\mathbb{K}{e}_i$, et le théorème du cours dit que $M$ commutant avec $D$ les stabilise ; stabiliser une droite $\mathbb{K}{e}_i$, c'est envoyer $e_i$ sur un multiple de lui-même, c'est-à-dire être diagonale.)

c) Le transport par conjugaison. Soit $P\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$ et $A^{\prime }=P^{-1}AP$. L'application $\Phi :M\mapsto P^{-1}MP$ est linéaire et bijective sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, d'inverse $N\mapsto PN{P}^{-1}$. Et si $AM=MA$, alors $$A^{\prime }\Phi (M)=P^{-1}AP{P}^{-1}MP=P^{-1}AMP=P^{-1}MAP=\Phi (M)A^{\prime },$$ donc $\Phi \left(\mathcal{C}(A)\right)\subset \mathcal{C}\left(A^{\prime }\right)$ ; l'application réciproque donne l'inclusion inverse. Ainsi $\Phi$ induit un isomorphisme de $\mathcal{C}(A)$ sur $\mathcal{C}\left(A^{\prime }\right)$, et les deux commutants ont même dimension.

Or $A$ a $n$ valeurs propres distinctes en dimension $n$ : elle est diagonalisable (cours), donc $A=PD{P}^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)$. Par le b), $$\dim \mathcal{C}(A)=\dim \mathcal{C}(D)=n.$$

d) La dimension de $\mathbb{K}[A]$, et la conclusion. Le polynôme ${\prod }_{i=1}^n\left(X-{\lambda }_i\right)={\chi }_A$ est scindé à racines simples, donc $A$ est diagonalisable et ${\mu }_A$ est le produit des $X-\lambda$ pour $\lambda$ parcourant le spectre, c'est-à-dire ${\mu }_A={\chi }_A$, de degré $n$. Le théorème du cours donne alors $$\left(I_n,A,A^2,\dots ,A^{n-1}\right)\text{ est une base de }\mathbb{K}[A],\dim \mathbb{K}[A]=\mathrm{deg}{\mu }_A=n.$$ On a donc deux sous-espaces vectoriels emboîtés, $\mathbb{K}[A]\subset \mathcal{C}(A)$, de même dimension finie $n$ : ils sont égaux. $$\boxed{\mathcal{C}(A)=\mathbb{K}[A]}\text{— commuter avec }A,\text{ c’est eˆtre un polynoˆme en }A.$$

Contrôle numérique. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, de spectre simple $\{1,2\}$, cherchons $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ commutant avec $A$ : $AM=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ 2c& 2d\end{array}\right)$ et $MA=\left(\begin{array}{cc}a& a+2b\\ c& c+2d\end{array}\right)$. L'identification donne $c=0$ puis $d=a+b$. Donc $\mathcal{C}(A)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a+b\end{array}\right)\right\}$, de dimension $2=n$ ✓ ; et $x{I}_2+yA=\left(\begin{array}{cc}x+y& y\\ 0& x+2y\end{array}\right)$ est exactement de cette forme, avec $a=x+y$ et $b=y$ ✓.

e) Sans spectre simple, c'est faux. Prenons $A=I_n$ avec $n\ge 2$. Alors $\mathcal{C}\left(I_n\right)={\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ tout entier, de dimension $n^2$, tandis que ${\mu }_{I_n}=X-1$ et $\mathbb{K}\left[I_n\right]=\mathbb{K}{I}_n$, de dimension $1$. Les deux diffèrent dès que $n\ge 2$ : l'hypothèse de spectre simple est essentielle. (Le résultat général, hors du cadre de cet exercice : on a toujours $\dim \mathcal{C}(A)\ge n$, avec égalité si et seulement si ${\mu }_A={\chi }_A$.)

Ce que l'exercice installe. Deux réflexes. Une inclusion entre sous-espaces de même dimension finie est une égalité : c'est souvent la seule façon raisonnable de démontrer une égalité d'espaces dont l'un est décrit par des équations et l'autre par des générateurs. Et la conjugaison transporte les commutants : pour un objet attaché à $A$ et invariant par similitude, on se ramène à la forme réduite. Le problème réutilisera de façon décisive l'idée « les polynômes en $u$ commutent avec tout ce qui commute avec $u$ ».