Le contre-exemple fondamental

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Montrer que $A = (1011)$ n'est pas diagonalisable, et déterminer son polynôme minimal.

Corrigé

$χ_{A} = (X - 1)^{2}$ : seule valeur propre $1$ , de multiplicité $2$ . Mais $A - I = (0010)$ est de rang $1$ : $dim E_{1} = 1 < 2 = m_{1}$ — non diagonalisable. (Variante algébrique : si $A$ était diagonalisable avec $Sp = {1}$ , alors $A = P I P^{- 1} = I$ : absurde.)

Polynôme minimal : $μ_{A}$ divise $χ_{A} = (X - 1)^{2}$ et a les mêmes racines, donc $μ_{A} \in {X - 1, (X - 1)^{2}}$ ; or $A - I \neq = 0$ : $μ_{A} = (X - 1)^{2}$ — non scindé à racines simples : le critère algébrique confirme la non-diagonalisabilité (mais $μ_{A}$ scindé : trigonalisable).

Énoncé

Corrigé

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