mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Le théorème de l'image spectrale

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · B. Éléments propres · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un $C$ -espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ , $u \in L (E)$ et $P \in C [X]$ .

a) Montrer que $P (Sp (u)) \subset Sp (P (u))$ .

b) Réciproquement, soit $μ \in Sp (P (u))$ . Factoriser $P - μ$ sur $C$ et montrer que l'une au moins de ses racines est valeur propre de $u$ . Conclure : $Sp (P (u)) = P (Sp (u))$ .

c) Soient $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ les valeurs propres de $u$ comptées avec multiplicité. Montrer que celles de $P (u)$ , comptées avec multiplicité, sont les $P (λ_{i})$ , et en déduire $tr (P (u)) = i = 1 \sum n P (λ_{i}), det (P (u)) = i = 1 \prod n P (λ_{i}) .$

d) L'égalité du b) subsiste-t-elle sur $R$ ? (Examiner $u$ de matrice $(01 - 1 0)$ et $P = X^{2}$ .)

e) Application : exprimer $det (A^{2} + A + I_{n})$ en fonction des valeurs propres de $A \in M_{n} (C)$ , et montrer que si $A$ est nilpotente, $A + I_{n}$ est inversible de déterminant $1$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie, et les outils. Le cours donne une inclusion : si $u (x) = λ x$ , alors $P (u) (x) = P (λ) x$ . Pour l'égalité, il faut partir d'une valeur propre de $P (u)$ et remonter à $u$ : c'est la factorisation sur $C$ qui le permet, en transformant $P (u) - μ id$ en un produit de déterminant nul. Pour le c), on trigonalise pour lire — la trigonalisabilité est ici un théorème d'existence, jamais un calcul à mener, le programme précisant que la pratique de la trigonalisation n'est pas un objectif.

a) L'inclusion du cours. Soit $λ \in Sp (u)$ et $x \neq = 0$ avec $u (x) = λ x$ . Une récurrence immédiate donne $u^{k} (x) = λ^{k} x$ , puis par linéarité $P (u) (x) = P (λ) x$ . Comme $x \neq = 0$ , $P (λ)$ est valeur propre de $P (u)$ : $P (Sp u) \subset Sp (P (u))$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Réciproquement, soit $μ \in Sp (P (u))$ . Factoriser $P - μ$ sur $C$ et montrer que l'une au moins de ses racines est valeur propre de $u$ . Conclure : $Sp (P (u)) = P (Sp (u))$ .

Élève

J'écris $P - μ = c \prod_{j} (X - a_{j})$ , donc $P (u) - μ id = c \prod_{j} (u - a_{j} id)$ , qui n'est pas injectif. J'aimerais en déduire qu'un des facteurs ne l'est pas, sans savoir comment le justifier.

Raisonne par contraposée : si tous les facteurs $u - a_{j} id$ étaient injectifs, que pourrais-tu dire de leur composée, puis de $P (u) - μ id$ ?

Élève

Une composée d'injections est injective, et multiplier par $c$ ne change rien puisque $c$ , coefficient dominant, est non nul. Des facteurs tous injectifs rendraient donc $P (u) - μ id$ injectif.

Qu'en déduis-tu sur l'une des racines $a_{j}$ , que vaut $P$ en cette racine, et qu'en conclus-tu sur $μ$ ? Et que devient l'argument quand $P$ est constant, cas où $P - μ$ est le polynôme nul et n'a pas de factorisation ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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