Le théorème de l'image spectrale

La stratégie, et les outils. Le cours donne une inclusion : si $u(x)=\lambda x$, alors $P(u)(x)=P(\lambda )x$. Pour l'égalité, il faut partir d'une valeur propre de $P(u)$ et remonter à $u$ : c'est la factorisation sur $\mathbb{C}$ qui le permet, en transformant $P(u)-\mu \mathrm{id}$ en un produit de déterminant nul. Pour le c), on trigonalise pour lire — la trigonalisabilité est ici un théorème d'existence, jamais un calcul à mener, le programme précisant que la pratique de la trigonalisation n'est pas un objectif.

a) L'inclusion du cours. Soit $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$ et $x\ne 0$ avec $u(x)=\lambda x$. Une récurrence immédiate donne $u^k(x)={\lambda }^{k}x$, puis par linéarité $P(u)(x)=P(\lambda )x$. Comme $x\ne 0$, $P(\lambda )$ est valeur propre de $P(u)$ : $P\left(\mathrm{Sp}u\right)\subset \mathrm{Sp}\left(P(u)\right)$.

b) L'inclusion réciproque. Soit $\mu \in \mathrm{Sp}\left(P(u)\right)$.

Le cas constant, d'abord. Si $P$ est constant, $P=c$, alors $P(u)=c\mathrm{id}$ et $\mathrm{Sp}\left(P(u)\right)=\{c\}$ ; par ailleurs $\mathrm{Sp}(u)\ne \varnothing$ puisque ${\chi }_u$, de degré $n\ge 1$, a une racine dans $\mathbb{C}$, et $P\left(\mathrm{Sp}u\right)=\{c\}$. Égalité.

Le cas général. Supposons $P$ non constant, de degré $q\ge 1$ et de coefficient dominant $c\ne 0$. Le polynôme $P-\mu$ est encore de degré $q$ et de coefficient dominant $c$ ; il se factorise sur $\mathbb{C}$ : $$P-\mu =c\prod _{j=1}^q\left(X-a_j\right).$$ Évaluons en $u$ — l'évaluation est un morphisme d'algèbres : $$P(u)-\mu \mathrm{id}=c\prod _{j=1}^q\left(u-a_j\mathrm{id}\right).$$ Comme $\mu$ est valeur propre de $P(u)$, l'endomorphisme $P(u)-\mu \mathrm{id}$ n'est pas injectif, donc son déterminant est nul. Or le déterminant est multiplicatif : $$0=\det (P(u)-\mu \mathrm{id})=c^n\prod _{j=1}^q\det \left(u-a_j\mathrm{id}\right).$$ Comme $c\ne 0$, l'un au moins des facteurs est nul : il existe $j_0$ avec $\det \left(u-a_{j_0}\mathrm{id}\right)=0$, c'est-à-dire $a_{j_0}\in \mathrm{Sp}(u)$. Et $a_{j_0}$ est racine de $P-\mu$, donc $P\left(a_{j_0}\right)=\mu$ : ainsi $\mu \in P\left(\mathrm{Sp}u\right)$.

Les deux inclusions donnent $$\mathrm{Sp}(P(u))=P(\mathrm{Sp}(u)).$$

c) Les multiplicités, par trigonalisation. Sur $\mathbb{C}$, ${\chi }_u$ est scindé, donc $u$ est trigonalisable : sa matrice dans une certaine base est triangulaire supérieure $T$, de diagonale $\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)$ — les valeurs propres comptées avec multiplicité. Le produit de deux triangulaires supérieures est triangulaire supérieure, de diagonale le produit terme à terme des diagonales : $T^k$ est donc triangulaire de diagonale $\left({\lambda }_1^k,\dots ,{\lambda }_n^k\right)$, et par combinaison linéaire $P(T)$ est triangulaire de diagonale $\left(P({\lambda }_1),\dots ,P({\lambda }_n)\right)$. Le polynôme caractéristique d'une triangulaire se lit sur sa diagonale : $${\chi }_{P(u)}=\prod _{i=1}^n\left(X-P\left({\lambda }_i\right)\right).$$ Les valeurs propres de $P(u)$, comptées avec multiplicité, sont donc les $P\left({\lambda }_i\right)$, d'où, la trace et le déterminant d'une matrice trigonalisable étant la somme et le produit de ses valeurs propres, $$\mathrm{tr}(P(u))=\sum _{i=1}^{n}P\left({\lambda }_i\right),\det (P(u))=\prod _{i=1}^{n}P\left({\lambda }_i\right).$$

d) Sur $\mathbb{R}$, c'est faux. Prenons $u$ de matrice $R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ et $P=X^2$. Le polynôme caractéristique ${\chi }_R=X^2+1$ n'a aucune racine réelle, donc ${\mathrm{Sp}}_{\mathbb{R}}(u)=\varnothing$ et $P\left(\mathrm{Sp}u\right)=\varnothing$. Pourtant $R^2=-I_2$, donc $\mathrm{Sp}\left(u^2\right)=\{-1\}\ne \varnothing$. L'inclusion du a) reste vraie (elle est vide), mais l'égalité tombe. Ce qui manque est exactement la factorisation de $P-\mu$ : sur $\mathbb{R}$, un polynôme n'est pas toujours scindé.

e) Deux applications. En prenant $P=X^2+X+1$, le c) donne $$\det \left(A^2+A+I_n\right)=\prod _{i=1}^n\left({\lambda }_i^2+{\lambda }_i+1\right).$$ Et si $A$ est nilpotente, sa seule valeur propre est $0$ (cours), donc ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_n=0$ ; avec $P=X+1$, $$\det \left(A+I_n\right)=\prod _{i=1}^n(0+1)=1\ne 0:$$ $A+I_n$ est inversible, de déterminant $1$.

Contrôle. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, nilpotente : $A+I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, de déterminant $1$ ✓ ; et $A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, de déterminant $1=(0+0+1{)}^2$ ✓. Pour $A=\mathrm{diag}(1,2)$ : $\det \left(A^2+A+I_2\right)=\det \mathrm{diag}(3,7)=21$, et $\left(1+1+1\right)\left(4+2+1\right)=3\times 7=21$ ✓.

Ce que l'exercice installe. Le cours ne donne qu'une inclusion ; l'égalité est un théorème, et elle coûte la clôture algébrique de $\mathbb{C}$. Deux gestes à retenir : factoriser $P-\mu$ pour remonter d'une valeur propre de $P(u)$ à une valeur propre de $u$ ; et trigonaliser pour lire la trace et le déterminant d'un polynôme en $u$ sans calculer aucune matrice — geste qui resservira dès l'exercice suivant.