mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Lire un spectre

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Niveau ★ — application directe du cours · niveau 1 (application)

Énoncé

Sans calcul de déterminant, donner le spectre, la trace et le déterminant de $T = 200530 - 1 42$ , ainsi que les multiplicités. $T$ est-elle diagonalisable ?

Corrigé

$T$ est triangulaire : $χ_{T} = (X - 2)^{2} (X - 3)$ , donc $Sp (T) = {2, 3}$ avec $m_{2} = 2$ , $m_{3} = 1$ ; $tr T = 7$ , $det T = 12$ .

Diagonalisable ? Il faut $dim E_{2} = 2$ ; or $T - 2 I = (000510 - 1 40)$ est de rang $2$ , donc $dim E_{2} = 3 - 2 = 1 < m_{2}$ : non diagonalisable (mais trigonalisable — elle l'est déjà !).

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