Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité

La stratégie, et les outils. Deux affirmations, deux mécanismes. La première est une lecture de l'hypothèse : « chaque ligne somme à $1$ » signifie que le vecteur de coordonnées toutes égales à $1$ est fixe. La seconde repose sur la coordonnée de module maximal : on écrit la relation propre sur la ligne où le vecteur propre est le plus grand, et l'inégalité triangulaire fait le reste — prototype de toute majoration spectrale. On travaille dans ${\mathbb{C}}^n$ : une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes, et l'énoncé porte sur $|\lambda |$.

a) $1$ est valeur propre. Posons $U=(1,1,\dots ,1{)}^{\top }$, non nul. La $i$-ième coordonnée de $AU$ vaut $$(AU{)}_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\times 1=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=1=U_i.$$ Donc $AU=U$ : $1\in \mathrm{Sp}(A)$, de vecteur propre $U$. (L'hypothèse porte bien sur les lignes. Si ce sont les colonnes qui somment à $1$, c'est $A^{\top }$ qui fixe $U$ ; mais $A$ et $A^{\top }$ ont le même polynôme caractéristique, donc la conclusion subsiste.)

b) Toute valeur propre est de module au plus $1$. Soient $\lambda \in \mathbb{C}$ et $X={\left(x_1,\dots ,x_n\right)}^{\top }\in {\mathbb{C}}^n$ non nul avec $AX=\lambda X$. L'ensemble fini $\left\{\left|x_1\right|,\dots ,\left|x_n\right|\right\}$ admet un plus grand élément : choisissons $i_0$ tel que $$\left|x_{i_0}\right|=\underset{1\le j\le n}{\max }\left|x_j\right|=:m,m>0\text{ car }X\ne 0.$$ Écrivons la relation propre sur cette ligne-là : $\lambda x_{i_0}={\sum }_{j=1}^n{a}_{i_{0}j}{x}_j$. En passant aux modules, $$|\lambda |m=\left|\sum _{j=1}^n{a}_{i_{0}j}{x}_j\right|\le \sum _{j=1}^n\left|a_{i_{0}j}\right|\left|x_j\right|=\sum _{j=1}^n{a}_{i_{0}j}\left|x_j\right|\le \left(\sum _{j=1}^n{a}_{i_{0}j}\right)m=m.$$ La première majoration est l'inégalité triangulaire ; l'égalité suivante utilise la positivité des coefficients ; la dernière majoration utilise $\left|x_j\right|\le m$ et, de nouveau, $a_{i_{0}j}\ge 0$, sans quoi on ne pourrait pas majorer terme à terme. Comme $m>0$, on divise : $|\lambda |\le 1$.

Le point délicat. Il faut choisir la ligne de module maximal, et pas une autre : c'est le seul choix qui permette à la fois de majorer chaque $\left|x_j\right|$ par $m$ et de diviser ensuite par $m$. Sur une autre ligne, la division serait illicite — la coordonnée pourrait être nulle — et la majoration inutile.

c) La borne est optimale, et $1$ n'est pas seule sur le cercle. Le a) montre que $1$ est atteinte, donc le rayon spectral vaut exactement $1$. Et plusieurs valeurs propres peuvent être de module $1$ : la matrice de permutation circulaire $P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ est stochastique (un seul coefficient égal à $1$ par ligne) et vérifie $P^3=I_3$ ; le polynôme $X^3-1$, scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$, l'annule, donc $P$ est diagonalisable de spectre inclus dans les racines cubiques de l'unité, et $\mathrm{tr}P=0=1+\mathrm{j}+\overline{\mathrm{j}}$ donne $\mathrm{Sp}(P)=\left\{1,\mathrm{j},\overline{\mathrm{j}}\right\}$ : trois valeurs propres de module $1$. Une chaîne de Markov peut donc tourner indéfiniment sans converger — la majoration ne dit rien de ce qui se passe sur le cercle.

d) Le contrôle numérique. Les trois lignes de $A$ somment bien à $1$. On calcule $\mathrm{tr}A=0,5+0,7+0,5=1,7$, la somme des mineurs principaux d'ordre $2$, qui vaut $0,30+0,20+0,32=0,82$, et $\det A=0,12$. Or le triplet $\left\{1;0,4;0,3\right\}$ vérifie $$1+0,4+0,3=1,7,1\times 0,4+1\times 0,3+0,4\times 0,3=0,82,1\times 0,4\times 0,3=0,12:$$ les trois fonctions symétriques coïncident, donc $\mathrm{Sp}(A)=\left\{1;0,4;0,3\right\}$. Les trois valeurs propres sont réelles, de module au plus $1$, et $1$ est bien atteinte ✓.

e) La loi stationnaire. Les matrices $A$ et $A^{\top }$ ont le même polynôme caractéristique, donc le même spectre : $1$ est aussi valeur propre de $A^{\top }$, et un vecteur propre ${\pi }^{\top }$ de $A^{\top }$ pour la valeur propre $1$ donne exactement $\pi A=\pi$.

Sur l'exemple, en normalisant pour que la somme des coordonnées vaille $1$, on trouve $\pi =\frac{1}{21}(5,10,6)$. Vérification coordonnée par coordonnée : $$\frac{1}{21}\left(5\times 0,5+10\times 0,1+6\times 0,25\right)=\frac{2,5+1+1,5}{21}=\frac{5}{21},$$ $$\frac{1}{21}\left(5\times 0,3+10\times 0,7+6\times 0,25\right)=\frac{1,5+7+1,5}{21}=\frac{10}{21},\frac{1}{21}\left(5\times 0,2+10\times 0,2+6\times 0,5\right)=\frac{1+2+3}{21}=\frac{6}{21}.$$ C'est bien $\pi$ : la loi stationnaire de la chaîne de Markov de matrice de transition $A$, la distribution de probabilité que l'évolution laisse invariante.

Ce que l'exercice installe. Le geste « prendre la coordonnée de module maximal d'un vecteur propre » est la façon standard de majorer une valeur propre sans rien calculer. Et un modèle probabiliste se lit intégralement dans le spectre de sa matrice de transition : $1$ toujours présent, tout le reste dans le disque unité fermé, le comportement en temps long décidé par ce qui se trouve sur le cercle.