mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · B. Éléments propres · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une matrice $A = (a_{ij}) \in M_{n} (R)$ est dite stochastique si $a_{ij} \geq 0$ pour tous $i, j$ et si chaque ligne somme à $1$ : $\sum_{j = 1}^{n} a_{ij} = 1$ pour tout $i$ . (C'est la matrice de transition d'une chaîne de Markov.)

a) Montrer que $1$ est valeur propre de $A$ .

b) Montrer que toute valeur propre complexe $λ$ de $A$ vérifie $∣ λ ∣ \leq 1$ .

c) La borne est-elle optimale ? Peut-il y avoir plusieurs valeurs propres de module $1$ ?

d) Contrôler sur la matrice $A = 0, 5 0, 1 0, 25 0, 3 0, 7 0, 25 0, 2 0, 2 0, 5$ .

e) Montrer qu'il existe un vecteur ligne $π \neq = 0$ tel que $π A = π$ , et le calculer sur l'exemple.

Corrigé de la question 1

La stratégie, et les outils. Deux affirmations, deux mécanismes. La première est une lecture de l'hypothèse : « chaque ligne somme à $1$ » signifie que le vecteur de coordonnées toutes égales à $1$ est fixe. La seconde repose sur la coordonnée de module maximal : on écrit la relation propre sur la ligne où le vecteur propre est le plus grand, et l'inégalité triangulaire fait le reste — prototype de toute majoration spectrale. On travaille dans $C^{n}$ : une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes, et l'énoncé porte sur $∣ λ ∣$ .

a) $1$ est valeur propre. Posons $U = (1, 1, \dots, 1)^{⊤}$ , non nul. La $i$ -ième coordonnée de $A U$ vaut $(A U)_{i} = j = 1 \sum n a_{ij} \times 1 = j = 1 \sum n a_{ij} = 1 = U_{i} .$ Donc $A U = U$ : $1 \in Sp (A)$ , de vecteur propre $U$ . (L'hypothèse porte bien sur les lignes. Si ce sont les colonnes qui somment à $1$ , c'est $A^{⊤}$ qui fixe $U$ ; mais $A$ et $A^{⊤}$ ont le même polynôme caractéristique, donc la conclusion subsiste.)

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que toute valeur propre complexe $λ$ de $A$ vérifie $∣ λ ∣ \leq 1$ .

Élève

J'écris $A X = λ X$ et je passe aux modules ligne par ligne, mais chaque inégalité mélange toutes les coordonnées et je n'arrive pas à isoler $∣ λ ∣$ .

Tu n'as pas besoin de toutes les lignes : une seule suffit si elle est bien choisie. Sur quelle ligne pourras-tu comparer chaque $∣ x_{j} ∣$ à la coordonnée de cette ligne-là ?

Élève

Celle où $∣ x_{i} ∣$ est le plus grand, disons $i_{0}$ . Avec l'inégalité triangulaire, j'ai $∣ λ ∣ ∣ x_{i_{0}} ∣ \leq \sum_{j} ∣ a_{i_{0} j} ∣ ∣ x_{j} ∣$ .

Bien. Quelles hypothèses sur les coefficients de $A$ dois-tu invoquer pour majorer ce membre de droite, et pourquoi est-il indispensable ensuite que $x_{i_{0}}$ soit non nul ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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