mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Premiers éléments propres

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Niveau ★ — application directe du cours · niveau 1 (application)

Énoncé

Déterminer valeurs propres et sous-espaces propres de $A = (2112)$ . La matrice est-elle diagonalisable ?

Corrigé

$χ_{A} = det (X - 2 - 1 - 1 X - 2) = (X - 2)^{2} - 1 = (X - 1) (X - 3) : Sp (A) = {1, 3} .$ $E_{1}$ : $(A - I) X = 0 ⟺ x + y = 0$ : $E_{1} = Vect (1 - 1)$ . $E_{3}$ : $- x + y = 0$ : $E_{3} = Vect (11)$ .

Deux valeurs propres distinctes en dimension $2$ : diagonalisable, $A = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (1, 3)$ , $P = (1 - 1 11)$ . (Contrôles : $tr = 4 = 1 + 3$ ✓, $det = 3 = 1 \times 3$ ✓ — c'est la figure du cours.)

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