Problème — La décomposition de Dunford : $u=d+\nu$, existence et unicité

1) Les sous-espaces caractéristiques. Les polynômes ${\left(X-{\lambda }_i\right)}^{m_i}$ sont deux à deux premiers entre eux, n'ayant aucune racine commune puisque les ${\lambda }_i$ sont distincts. Leur produit est ${\chi }_u$, qui annule $u$ d'après le théorème de Cayley-Hamilton — que le programme permet d'admettre, sa démonstration n'étant pas exigible. Le lemme de décomposition des noyaux s'applique donc : $$E=\mathrm{Ker}{\chi }_u(u)=\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}\mathrm{Ker}{\left(u-{\lambda }_i\mathrm{id}\right)}^{m_i}=\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}{N}_i.$$ Chaque $N_i$ est le noyau d'un polynôme en $u$, donc stable par $u$ : si $x\in N_i$, alors, les polynômes en $u$ commutant entre eux, $${\left(u-{\lambda }_i\mathrm{id}\right)}^{m_i}(u(x))=u({\left(u-{\lambda }_i\mathrm{id}\right)}^{m_i}(x))=u(0)=0.$$ Enfin le cours établit $\dim N_i=m_i$, la multiplicité de ${\lambda }_i$ dans ${\chi }_u$.

2) L'existence. Les $N_i$ étant en somme directe, la donnée d'un endomorphisme sur chaque $N_i$ définit un unique endomorphisme de $E$ : le recollement est licite, et $d$ est bien défini.

$d$ est diagonalisable. Concaténons une base ${\mathcal{B}}_i$ de chaque $N_i$ pour former une base $\mathcal{B}$ de $E$. Dans $\mathcal{B}$, $${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(d)=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1{I}_{m_1},{\lambda }_2{I}_{m_2},\dots ,{\lambda }_r{I}_{m_r}\right)$$ est diagonale : $d$ est diagonalisable, de spectre $\left\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r\right\}=\mathrm{Sp}(u)$, avec $E_{{\lambda }_i}(d)=N_i$.

Chaque $N_i$ est stable par $\nu$. $N_i$ est stable par $u$ (question 1) et stable par $d$, qui y agit comme l'homothétie ${\lambda }_i\mathrm{id}$ ; il est donc stable par la différence $\nu =u-d$. C'est ce point, souvent passé sous silence, qui autorise les deux étapes suivantes.

$\nu$ est nilpotent. Sur $N_i$, $${\nu }_{|N_i}=u_{|N_i}-{\lambda }_i{\mathrm{id}}_{N_i}={\left(u-{\lambda }_i\mathrm{id}\right)}_{|N_i},$$ et par définition de $N_i=\mathrm{Ker}{\left(u-{\lambda }_i\mathrm{id}\right)}^{m_i}$, on a ${\left({\nu }_{|N_i}\right)}^{m_i}=0$. Posons $m={\max }_i{m}_i$ et soit $x\in E$, décomposé en $x={\sum }_i{x}_i$ avec $x_i\in N_i$. Comme $\nu \left(N_i\right)\subset N_i$, les puissances de $\nu$ ne mélangent pas les composantes : $${\nu }^m(x)=\sum _{i=1}^r{\left({\nu }_{|N_i}\right)}^m\left(x_i\right)=0,$$ chaque terme étant nul puisque $m\ge m_i$. Donc ${\nu }^m=0$ : $\nu$ est nilpotent, d'indice au plus ${\max }_i{m}_i$.

$d$ et $\nu$ commutent. Soit $x\in N_i$. Alors $\nu (x)\in N_i$, donc $d\left(\nu (x)\right)={\lambda }_i\nu (x)$ ; et $d(x)={\lambda }_{i}x$, donc $\nu \left(d(x)\right)={\lambda }_i\nu (x)$ par linéarité. Les deux valent ${\lambda }_i\nu (x)$. Les endomorphismes $d\nu$ et $\nu d$ coïncident donc sur chaque $N_i$, donc sur $E={⨁}_i{N}_i$ : $d\nu =\nu d$.

3) $d$ est un polynôme en $u$. Fixons $i$ et posons $A_i={\prod }_{j\ne i}{\left(X-{\lambda }_j\right)}^{m_j}$. Les polynômes $A_i$ et ${\left(X-{\lambda }_i\right)}^{m_i}$ sont premiers entre eux (aucune racine commune), donc Bézout dans $\mathbb{K}[X]$ fournit $U_i,V_i$ avec $$U_i{A}_i+V_i{\left(X-{\lambda }_i\right)}^{m_i}=1.$$ Posons $e_i=U_i{A}_i$. Alors $e_i\equiv 1\left[{\left(X-{\lambda }_i\right)}^{m_i}\right]$, et $e_i\equiv 0\left[{\left(X-{\lambda }_j\right)}^{m_j}\right]$ pour $j\ne i$, puisque ${\left(X-{\lambda }_j\right)}^{m_j}$ divise $A_i$. Posons enfin $$P=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{e}_i,\text{de sorte que}P\equiv {\lambda }_i\left[{\left(X-{\lambda }_i\right)}^{m_i}\right]\text{ pour tout }i.$$

Vérifions que $P(u)=d$. Soit $x\in N_i$. Écrivons $P={\lambda }_i+{\left(X-{\lambda }_i\right)}^{m_i}{Q}_i$. En évaluant en $u$ et en appliquant à $x$ : $$P(u)(x)={\lambda }_{i}x+{\left(u-{\lambda }_i\mathrm{id}\right)}^{m_i}(Q_i(u)(x)).$$ Or $N_i$ est stable par tout polynôme en $u$ (les polynômes en $u$ commutent, comme au 1), donc $Q_i(u)(x)\in N_i$, et l'image de $N_i$ par ${\left(u-{\lambda }_i\mathrm{id}\right)}^{m_i}$ est nulle par définition de $N_i$. Il reste $P(u)(x)={\lambda }_{i}x=d(x)$.

Ainsi $P(u)$ et $d$ coïncident sur chaque $N_i$, donc sur $E$ : $d=P(u)\in \mathbb{K}[u]$, et par différence $\nu =u-P(u)=(X-P)(u)\in \mathbb{K}[u]$.

Pourquoi c'est décisif. Tout endomorphisme qui commute avec $u$ commute alors automatiquement avec $d$ et avec $\nu$. C'est le seul ingrédient qui manquait pour l'unicité.

4) L'unicité. Soit $u=d^{\prime }+{\nu }^{\prime }$ une seconde décomposition, avec $d^{\prime }$ diagonalisable, ${\nu }^{\prime }$ nilpotent et $d^{\prime }{\nu }^{\prime }={\nu }^{\prime }{d}^{\prime }$.

Tout commute. $d^{\prime }$ commute avec $d^{\prime }$ et avec ${\nu }^{\prime }$, donc avec leur somme $u$ ; de même pour ${\nu }^{\prime }$. Or $d$ et $\nu$ sont des polynômes en $u$ (question 3), donc $d^{\prime }$ et ${\nu }^{\prime }$ commutent avec $d$ et avec $\nu$.

$d-d^{\prime }$ est diagonalisable. $d$ et $d^{\prime }$ sont diagonalisables et commutent : d'après l'exercice 9, ils sont codiagonalisables, c'est-à-dire diagonaux dans une même base. Leur différence y est diagonale, donc $d-d^{\prime }$ est diagonalisable.

${\nu }^{\prime }-\nu$ est nilpotent. $\nu$ et ${\nu }^{\prime }$ commutent, donc le binôme de Newton s'applique. Si ${\nu }^p=0$ et ${\left({\nu }^{\prime }\right)}^q=0$, alors $${\left({\nu }^{\prime }-\nu \right)}^{p+q-1}=\sum _{k=0}^{p+q-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+q-1}{k}\right){\left({\nu }^{\prime }\right)}^k(-\nu {)}^{p+q-1-k},$$ et dans chaque terme, ou bien $k\ge q$ et ${\left({\nu }^{\prime }\right)}^k=0$, ou bien $k\le q-1$ et alors $p+q-1-k\ge p$, donc ${\nu }^{p+q-1-k}=0$. Toute la somme est nulle : ${\nu }^{\prime }-\nu$ est nilpotent.

La conclusion. De $d+\nu =u=d^{\prime }+{\nu }^{\prime }$ on tire $$d-d^{\prime }={\nu }^{\prime }-\nu ,$$ un endomorphisme à la fois diagonalisable et nilpotent. Or un tel endomorphisme est nul : étant nilpotent, sa seule valeur propre est $0$ ; étant diagonalisable, il est semblable à la matrice diagonale de ses valeurs propres, c'est-à-dire à la matrice nulle — donc il est nul. D'où $$d=d^{\prime }\text{et}\nu ={\nu }^{\prime }.$$

5) L'application numérique. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$. Elle est triangulaire, donc ${\chi }_A=(X-2{)}^2(X-5)$, scindé : les hypothèses sont satisfaites, avec ${\lambda }_1=2$, $m_1=2$, ${\lambda }_2=5$, $m_2=1$.

Les sous-espaces caractéristiques. $A-2I_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$ et ${\left(A-2I_3\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 9\end{array}\right)$, donc $N_1=\mathrm{Vect}\left(e_1,e_2\right)$, de dimension $2=m_1$ ✓. Et $N_2=\mathrm{Ker}\left(A-5I_3\right)=\mathrm{Vect}\left(e_3\right)$, de dimension $1=m_2$ ✓.

La décomposition. La base canonique est déjà adaptée. Donc $d$ vaut $2\mathrm{id}$ sur $\mathrm{Vect}\left(e_1,e_2\right)$ et $5\mathrm{id}$ sur $\mathrm{Vect}\left(e_3\right)$ : $$d=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right),\nu =A-d=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$ Contrôles : ${\nu }^2=0$ ✓ ; $d$ est diagonale donc diagonalisable ✓ ; et $d\nu =\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\nu d$ ✓.

Le polynôme $P$. On cherche $P$ avec $P\equiv 2\left[(X-2{)}^2\right]$ et $P\equiv 5[X-5]$. Cherchons-le sous la forme $P=2+\alpha (X-2{)}^2$, qui satisfait automatiquement la première congruence ; la seconde impose $P(5)=2+9\alpha =5$, soit $\alpha =\frac{1}{3}$. Donc $$P=\frac{X^2-4X+10}{3}.$$ Contrôle complet : $$P(A)=\frac{A^2-4A+10I_3}{3}=\frac{1}{3}\left[\left(\begin{array}{ccc}4& 4& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 25\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}8& 4& 0\\ 0& 8& 0\\ 0& 0& 20\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}10& 0& 0\\ 0& 10& 0\\ 0& 0& 10\end{array}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 15\end{array}\right)=d✓.$$

Les puissances. Comme $d$ et $\nu$ commutent, le binôme de Newton s'applique, et il s'arrête à l'indice de nilpotence, ici $2$ : $$A^n=(d+\nu {)}^n=d^n+n{d}^{n-1}\nu =\left(\begin{array}{ccc}{2}^n& n{2}^{n-1}& 0\\ 0& 2^n& 0\\ 0& 0& 5^n\end{array}\right).$$ Contrôles : pour $n=1$ on retrouve $A$ ✓ ; pour $n=2$, la formule donne $\left(\begin{array}{ccc}4& 4& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 25\end{array}\right)$, et le calcul direct de $A^2$ donne la même matrice ✓.

6) La portée, et le théorème. Les exercices résolus calculaient $A^n$ pour une matrice $\lambda I+N$ avec $N$ nilpotente : la méthode marchait parce que $\lambda I$ commute avec tout, mais elle ne valait que pour les matrices à une seule valeur propre. Le problème montre que la situation est générale : dès que ${\chi }_A$ est scindé — donc toujours sur $\mathbb{C}$ —, $A$ s'écrit $d+\nu$ avec $d$ diagonalisable et $\nu$ nilpotent qui commutent, et le binôme de Newton s'applique : $$A^n=\sum _{k=0}^{p-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)d^{n-k}{\nu }^k,$$ une somme d'au plus $p$ termes, où $p$ est l'indice de nilpotence de $\nu$, et où $d^{n-k}$ se calcule par diagonalisation. Le calcul des puissances d'une matrice quelconque est donc toujours un calcul fini, sans aucune trigonalisation explicite à mener.

Le théorème obtenu — décomposition dite « de Dunford » (nom d'usage, hors nomenclature du programme). Soit $u$ un endomorphisme d'un espace de dimension finie dont le polynôme caractéristique est scindé. Il existe un unique couple $(d,\nu )$ tel que $u=d+\nu$, avec $d$ diagonalisable, $\nu$ nilpotent et $d\nu =\nu d$. De plus, $d$ et $\nu$ sont des polynômes en $u$.

Ce que le problème installe. Trois idées. Descendre, résoudre, recoller : le lemme des noyaux découpe $E$ en morceaux stables, on définit l'objet voulu morceau par morceau, et le recollement le remonte — c'est le schéma de l'exercice 9 porté à son plein rendement. « Polynôme en $u$ » est la propriété qui fait l'unicité : sans la question 3, la question 4 serait impossible, car c'est parce que $d$ et $\nu$ sont des polynômes en $u$ que tout ce qui commute avec $u$ commute avec eux. Enfin, un endomorphisme à la fois diagonalisable et nilpotent est nul : argument minuscule qui clôt à lui seul une unicité, et qu'on retrouvera chaque fois que deux décompositions doivent être comparées.