mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Problème — La décomposition de Dunford : $u = d + ν$ , existence et unicité

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · E. Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in L (E)$ dont le polynôme caractéristique est scindé : $χ_{u} = \prod_{i = 1}^{r} (X - λ_{i})^{m_{i}}$ , les $λ_{i}$ étant deux à deux distincts. On pose $N_{i} = Ker (u - λ_{i} id)^{m_{i}}$ .

1) En admettant le théorème de Cayley-Hamilton, montrer que $E = ⨁_{i = 1}^{r} N_{i}$ , que chaque $N_{i}$ est stable par $u$ , et rappeler que $dim N_{i} = m_{i}$ .

2) On définit $d \in L (E)$ par recollement : $d_{∣ N_{i}} = λ_{i} id_{N_{i}}$ , et l'on pose $ν = u - d$ . Montrer que $d$ est diagonalisable, que $ν$ est nilpotent et que $d ν = ν d$ .

3) Montrer que $d$ , donc aussi $ν$ , est un polynôme en $u$ .

4) Montrer l'unicité : si $u = d^{'} + ν^{'}$ avec $d^{'}$ diagonalisable, $ν^{'}$ nilpotent et $d^{'} ν^{'} = ν^{'} d^{'}$ , alors $d^{'} = d$ et $ν^{'} = ν$ .

5) Appliquer à $A = 200120005$ : écrire sa décomposition, expliciter le polynôme $P$ tel que $P (A) = d$ , et calculer $A^{n}$ .

6) Expliquer pourquoi la méthode « $λ I + N$ » des exercices résolus est désormais justifiée en général, et énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

1) Les sous-espaces caractéristiques. Les polynômes $(X - λ_{i})^{m_{i}}$ sont deux à deux premiers entre eux, n'ayant aucune racine commune puisque les $λ_{i}$ sont distincts. Leur produit est $χ_{u}$ , qui annule $u$ d'après le théorème de Cayley-Hamilton — que le programme permet d'admettre, sa démonstration n'étant pas exigible. Le lemme de décomposition des noyaux s'applique donc : $E = Ker χ_{u} (u) = i = 1 ⨁ r Ker (u - λ_{i} id)^{m_{i}} = i = 1 ⨁ r N_{i} .$ Chaque $N_{i}$ est le noyau d'un polynôme en $u$ , donc stable par $u$ : si $x \in N_{i}$ , alors, les polynômes en $u$ commutant entre eux, $(u - λ_{i} id)^{m_{i}} (u (x)) = u ((u - λ_{i} id)^{m_{i}} (x)) = u (0) = 0.$ Enfin le cours établit $dim N_{i} = m_{i}$ , la multiplicité de $λ_{i}$ dans $χ_{u}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) On définit $d \in L (E)$ par recollement : $d_{∣ N_{i}} = λ_{i} id_{N_{i}}$ , et l'on pose $ν = u - d$ . Montrer que $d$ est diagonalisable, que $ν$ est nilpotent et que $d ν = ν d$ .

Élève

$d$ est diagonale dans une base adaptée à $E = ⨁ N_{i}$ . Pour $ν$ , je sais que $(u - λ_{i} id)^{m_{i}}$ s'annule sur $N_{i}$ , mais je ne vois pas comment en tirer une puissance de $ν$ nulle sur tout $E$ .

Sur $N_{i}$ , $ν$ coïncide avec $u - λ_{i} id$ . Mais pour itérer $ν$ sur un vecteur de $N_{i}$ et rester dans ce cadre, que dois-tu savoir sur l'image $ν (N_{i})$ , et d'où peux-tu le tirer ?

Élève

Il faut que $N_{i}$ soit stable par $ν$ . Il l'est par $u$ d'après le 1), et par $d$ qui y agit comme une homothétie, donc par leur différence.

Oui, et c'est le point que l'on oublie souvent. Avec cette stabilité, quel exposant choisis-tu pour annuler $ν$ sur tous les $N_{i}$ à la fois, et comment la même stabilité te sert-elle à comparer $d ν (x)$ et $ν d (x)$ pour $x \in N_{i}$ ?

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Corrigé de la question 1

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