Puissances par diagonalisation

$A=PD{P}^{-1}$ donc $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ avec $D^n=\mathrm{diag}(1,3^n)$ et $P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ : $$A^n=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{3}^n+1& 3^n-1\\ 3^n-1& 3^n+1\end{array}\right).$$ (Contrôle $n=1$ : $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=A$ ✓.) Pour les suites : $\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)=A^k\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$, soit $x_k=\frac{(x_0+y_0)3^k+(x_0-y_0)}{2}$ : la composante sur la direction propre dominante $(1,1)$ explose en $3^k$, l'autre reste figée — le spectre dicte la dynamique (principe général des systèmes dynamiques linéaires et des chaînes de Markov).