Deux réflexions font une rotation d'angle double

La stratégie, et les outils. Tout est calcul matriciel $2\times 2$ et formules d'addition, mais chaque calcul répond à une question de structure : un morphisme, son noyau, ses générateurs. Le cours fournit la description de ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ : toute matrice orthogonale de taille $2$ est un $R(t)$ (directe) ou un $S(t)$ (indirecte).

a) Le morphisme. En développant et en utilisant les formules d'addition : $$R(t)R(t^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}\cos t\cos t^{\prime }-\sin t\sin t^{\prime }& -\cos t\sin t^{\prime }-\sin t\cos t^{\prime }\\ \sin t\cos t^{\prime }+\cos t\sin t^{\prime }& -\sin t\sin t^{\prime }+\cos t\cos t^{\prime }\end{array}\right)=R(t+t^{\prime }).$$ L'application $t\mapsto R(t)$ est donc un morphisme de groupes de $(\mathbb{R},+)$ dans $\left({\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R}),\times \right)$.

Son noyau. $R(t)=I_2$ équivaut à $\cos t=1$ et $\sin t=0$, c'est-à-dire $t\in 2\pi \mathbb{Z}$. Le noyau est donc $2\pi \mathbb{Z}$ — un sous-groupe monogène de $(\mathbb{R},+)$, conformément à la dichotomie du chapitre 1.

Son image. D'après la description de ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ donnée par le cours, toute matrice orthogonale directe est de la forme $R(\theta )$ : le morphisme est surjectif sur ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$.

b) Commutativité et isomorphisme. La formule $R(t)R(t^{\prime })=R(t+t^{\prime })=R(t^{\prime })R(t)$ montre que ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$ est commutatif. Pour l'isomorphisme, considérons $\Psi :\mathbb{U}\to {\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$, $e^{it}\mapsto R(t)$. Elle est bien définie : si $e^{it}=e^{i{t}^{\prime }}$, alors $t-t^{\prime }\in 2\pi \mathbb{Z}$, donc $R(t)=R(t^{\prime })$ puisque $2\pi \mathbb{Z}$ est le noyau. C'est un morphisme, par le a) ; elle est surjective (image du a)) et injective (si $R(t)=I_2$ alors $t\in 2\pi \mathbb{Z}$ donc $e^{it}=1$). Donc $$\mathbb{U}\simeq {\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R}).$$ Les formules d'addition du cosinus et du sinus et l'identité $e^{it}{e}^{i{t}^{\prime }}=e^{i(t+t^{\prime })}$ sont donc, littéralement, le même énoncé.

c) $S(\theta )$ est une réflexion. D'abord $\det S(\theta )=-{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =-1$, donc $S(\theta )$ est une isométrie indirecte. Ensuite $$S(\theta {)}^2=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & \cos \theta \sin \theta -\sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta -\cos \theta \sin \theta & {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \end{array}\right)=I_2:$$ c'est une involution, donc une symétrie ; orthogonale et de déterminant $-1$ en dimension $2$, c'est une réflexion (symétrie orthogonale par rapport à une droite).

Son axe. Posons $v=\left(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2}\right)$. Alors $$S(\theta )v=\left(\cos \theta \cos \frac{\theta }{2}+\sin \theta \sin \frac{\theta }{2},\sin \theta \cos \frac{\theta }{2}-\cos \theta \sin \frac{\theta }{2}\right)=\left(\cos \left(\theta -\frac{\theta }{2}\right),\sin \left(\theta -\frac{\theta }{2}\right)\right)=v.$$ Le vecteur $v$ est donc fixe : l'axe est la droite d'angle polaire $\theta /2$. Et pour $w=\left(-\sin \frac{\theta }{2},\cos \frac{\theta }{2}\right)$, orthogonal à $v$, le même calcul donne $S(\theta )w=\left(\sin \frac{\theta }{2},-\cos \frac{\theta }{2}\right)=-w$ : la direction orthogonale est retournée, comme il se doit.

d) La composée de deux réflexions. Calculons : $$S({\theta }^{\prime })S(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }^{\prime }& \sin {\theta }^{\prime }\\ \sin {\theta }^{\prime }& -\cos {\theta }^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right).$$ Coefficient par coefficient : $$(1,1):\cos {\theta }^{\prime }\cos \theta +\sin {\theta }^{\prime }\sin \theta =\cos ({\theta }^{\prime }-\theta ),(1,2):\cos {\theta }^{\prime }\sin \theta -\sin {\theta }^{\prime }\cos \theta =-\sin ({\theta }^{\prime }-\theta ),$$ $$(2,1):\sin {\theta }^{\prime }\cos \theta -\cos {\theta }^{\prime }\sin \theta =\sin ({\theta }^{\prime }-\theta ),(2,2):\sin {\theta }^{\prime }\sin \theta +\cos {\theta }^{\prime }\cos \theta =\cos ({\theta }^{\prime }-\theta ).$$ D'où $$S({\theta }^{\prime })S(\theta )=R\left({\theta }^{\prime }-\theta \right).$$ Or, d'après le c), les axes des deux réflexions ont pour angles polaires $\theta /2$ et ${\theta }^{\prime }/2$ : l'angle entre eux vaut $\alpha =\frac{{\theta }^{\prime }-\theta }{2}$. La composée est donc $R(2\alpha )$ : la composée de deux réflexions d'axes faisant un angle $\alpha$ est la rotation d'angle $2\alpha$ — le double, et non $\alpha$.

e) Les réflexions engendrent. Soit $R(\phi )$ une rotation quelconque. En prenant $\theta =0$ et ${\theta }^{\prime }=\phi$ dans le d), $$R(\phi )=S(\phi )S(0):$$ toute rotation est le produit de deux réflexions — la première par rapport à l'axe des abscisses, la seconde par rapport à la droite d'angle $\phi /2$. Et toute isométrie indirecte du plan est elle-même une réflexion. Donc ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ est engendré par ses réflexions, tout élément étant produit d'au plus deux d'entre elles.

Contrôle numérique. Prenons $\phi =\pi /2$. Alors $S(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$, réflexion d'axe l'axe des abscisses, et $S\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, réflexion d'axe la première bissectrice, d'angle polaire $\pi /4$. Leur produit vaut $$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=R\left(\frac{\pi }{2}\right)✓,$$ et l'angle entre les deux axes vaut bien $\pi /4$, moitié de $\pi /2$.

Ce que l'exercice installe. Un groupe se décrit par ses générateurs : ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ est engendré par les réflexions, et le résultat se généralise — en dimension $n$, toute isométrie est produit d'au plus $n$ réflexions. Retenez aussi le facteur $2$ : composer deux réflexions double l'angle entre leurs axes. Et notez que ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$, isomorphe à $\mathbb{U}$, est commutatif, alors que ${\mathrm{SO}}_3(\mathbb{R})$ ne l'est pas.