mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Deux réflexions font une rotation d'angle double

Endomorphismes d'un espace euclidien · C. Dimensions 2 et 3 · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On note, pour $t \in R$ , $R (t) = (cos t sin t - sin t cos t), S (t) = (cos t sin t sin t - cos t) .$

a) Vérifier par le calcul que $R (t) R (t^{'}) = R (t + t^{'})$ . En déduire que $t \mapsto R (t)$ est un morphisme de groupes de $(R, +)$ dans $SO_{2} (R)$ , et déterminer son noyau et son image.

b) En déduire que $SO_{2} (R)$ est commutatif et isomorphe au groupe $U$ des nombres complexes de module $1$ .

c) Montrer que $S (θ)$ est la matrice de la réflexion d'axe la droite d'angle polaire $θ /2$ .

d) Calculer $S (θ^{'}) S (θ)$ et en déduire : la composée de deux réflexions du plan dont les axes font un angle $α$ est la rotation d'angle $2 α$ .

e) En déduire que toute rotation est produit de deux réflexions, et que $O_{2} (R)$ est engendré par les réflexions. Contrôler sur un exemple.

Corrigé de la question 1

La stratégie, et les outils. Tout est calcul matriciel $2 \times 2$ et formules d'addition, mais chaque calcul répond à une question de structure : un morphisme, son noyau, ses générateurs. Le cours fournit la description de $O_{2} (R)$ : toute matrice orthogonale de taille $2$ est un $R (t)$ (directe) ou un $S (t)$ (indirecte).

a) Le morphisme. En développant et en utilisant les formules d'addition : $R (t) R (t^{'}) = (cos t cos t^{'} - sin t sin t^{'} sin t cos t^{'} + cos t sin t^{'} - cos t sin t^{'} - sin t cos t^{'} - sin t sin t^{'} + cos t cos t^{'}) = R (t + t^{'}) .$ L'application $t \mapsto R (t)$ est donc un morphisme de groupes de $(R, +)$ dans $(SO_{2} (R), \times)$ .

Son noyau. $R (t) = I_{2}$ équivaut à $cos t = 1$ et $sin t = 0$ , c'est-à-dire $t \in 2 π Z$ . Le noyau est donc $2 π Z$ — un sous-groupe monogène de $(R, +)$ , conformément à la dichotomie du chapitre 1.

Son image. D'après la description de $O_{2} (R)$ donnée par le cours, toute matrice orthogonale directe est de la forme $R (θ)$ : le morphisme est surjectif sur $SO_{2} (R)$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) En déduire que $SO_{2} (R)$ est commutatif et isomorphe au groupe $U$ des nombres complexes de module $1$ .

Élève

Pour l'isomorphisme, je pose $Ψ : U \to SO_{2} (R)$ , $e^{i t} \mapsto R (t)$ . C'est un morphisme par le a), il reste à montrer que c'est une bijection.

Avant cela, cette définition a-t-elle un sens ? Un même élément de $U$ s'écrit $e^{i t}$ pour plusieurs valeurs de $t$ : que faut-il vérifier ?

Élève

Il faut que $R (t)$ ne dépende que de $e^{i t}$ : si $e^{i t} = e^{i t^{'}}$ , alors $t - t^{'} \in 2 π Z$ , et je dois montrer que $R (t) = R (t^{'})$ .

Quel résultat du a) te donne cette égalité ? Ensuite, comment obtiens-tu la surjectivité et l'injectivité de $Ψ$ à partir de l'image et du noyau du a), et comment la commutativité se lit-elle sur $R (t) R (t^{'})$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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