mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 3 · Application directe du cours

L'adjoint en pratique

Endomorphismes d'un espace euclidien · Niveau ★ — application directe du cours · ★ niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $u(x,y)=(x+2y,3x+4y)$ sur ${\mathbb{R}}^2$ canonique. Donner $u^{\ast }$, et vérifier la relation d'adjonction sur les vecteurs de base.

Corrigé

La base canonique est orthonormée : $\mathrm{Mat}(u^{\ast })=A^{\top }=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$, soit $u^{\ast }(x,y)=(x+3y,2x+4y)$.

Vérification : $⟨u(e_1),e_2⟩=⟨(1,3),e_2⟩=3$ et $⟨e_1,u^{\ast }(e_2)⟩=⟨e_1,(3,4)⟩=3$. ✓ ($u$ n'est pas autoadjoint : $A\ne A^{\top }$.)