Le quotient de Rayleigh

Endomorphismes d'un espace euclidien · Niveau ★★★ — approfondissement · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A \in S_{n} (R)$ de valeurs propres $λ_{m i n} \leq \dots \leq λ_{m a x}$ . Montrer que pour tout $X \neq = 0$ : $λ_{m i n} \leq \frac{X ^{⊤} A X}{X ^{⊤} X} \leq λ_{m a x},$ avec égalités atteintes sur les vecteurs propres correspondants.

Corrigé

Base orthonormée propre $(e_{i})$ (théorème spectral) : si $X = \sum x_{i} e_{i}$ , alors $X^{⊤} A X = i \sum λ_{i} x_{i}^{2} et X^{⊤} X = i \sum x_{i}^{2},$ d'où l'encadrement en bornant chaque $λ_{i}$ par $λ_{m i n}$ et $λ_{m a x}$ ; l'égalité a lieu quand tout le poids porte sur le sous-espace propre extrême ( $X = e_{m i n}$ ou $e_{m a x}$ ).

(Le « quotient de Rayleigh » est partout : la plus grande valeur propre est un maximum sur la sphère — point de départ des méthodes numériques de calcul spectral, et clef du chapitre de calcul différentiel : le signe de la hessienne s'encadre par son spectre.)

Énoncé

Corrigé

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