mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Les quatre sous-espaces de l'adjoint, et le rang de Gram

Endomorphismes d'un espace euclidien · A. Adjoint · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $u \in L (E)$ .

a) Montrer que $Ker (u^{*}) = (Im u)^{⊥}$ .

b) En déduire $Im (u^{*}) = (Ker u)^{⊥}$ , puis $rg (u^{*}) = rg (u)$ . Que retrouve-t-on matriciellement ?

c) Montrer que $Ker (u^{*} u) = Ker (u)$ .

d) En déduire $rg (u^{*} u) = rg (u)$ , c'est-à-dire $rg (A^{⊤} A) = rg (A)$ pour toute matrice réelle $A$ .

e) Application, les équations normales. Soient $A \in M_{n, p} (R)$ de rang $p$ et $b \in R^{n}$ . Montrer que $A^{⊤} A$ est inversible et que $X = (A^{⊤} A)^{- 1} A^{⊤} b$ est l'unique vecteur minimisant $∥ A X - b ∥$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie, et les outils. Tout repose sur l'identité de définition de l'adjoint, $⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u^{*} (y) ⟩$ , et sur deux faits de première année : en dimension finie, $(F^{⊥})^{⊥} = F$ et $dim F^{⊥} = n - dim F$ . On n'écrit aucune matrice avant le e).

a) Le noyau de l'adjoint. Pour $y \in E$ , $y \in Ker (u^{*}) ⟺ u^{*} (y) = 0 ⟺ \forall x \in E, ⟨ x, u^{*} (y) ⟩ = 0 ⟺ \forall x \in E, ⟨ u (x), y ⟩ = 0 ⟺ y ⊥ Im u .$ La deuxième équivalence se justifie dans les deux sens : si $u^{*} (y) = 0$ , tous les produits scalaires sont nuls ; réciproquement, on prend $x = u^{*} (y)$ et l'on obtient $∥ u^{*} (y) ∥^{2} = 0$ . La troisième est la définition de l'adjoint.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) En déduire $Im (u^{*}) = (Ker u)^{⊥}$ , puis $rg (u^{*}) = rg (u)$ . Que retrouve-t-on matriciellement ?

Élève

Pour $Im (u^{*})$ , je voulais refaire une chaîne d'équivalences comme au a), mais « $y \in Im (u^{*})$ » est une condition d'existence, et je n'arrive pas à la transformer en condition d'orthogonalité.

Pas besoin de tout refaire : le a) est vrai pour tout endomorphisme de $E$ . À quel endomorphisme l'appliquer pour voir apparaître $Im (u^{*})$ , et quelle propriété de l'adjoint te le permet ?

Élève

En l'appliquant à $u^{*}$ , comme $(u^{*})^{*} = u$ , j'obtiens une égalité entre $Ker u$ et l'orthogonal de $Im (u^{*})$ . Il me faut maintenant la « retourner ».

Quelle propriété de l'orthogonal en dimension finie permet ce retournement ? Ensuite, comment relies-tu $dim (Ker u)^{⊥}$ au rang de $u$ , et que représente $u^{*}$ matriciellement dans une base orthonormée ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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