Polarisation, et la linéarité automatique

La stratégie, et les outils. L'identité de polarisation, $⟨x,y⟩=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right)$, relie normes et produit scalaire dans les deux sens. Le b) est l'exercice proprement dit : pour montrer qu'un vecteur est nul, on calcule sa norme au carré, et tout se simplifie parce que chacun des produits scalaires apparus se transporte par $f$.

a) Le sens facile. Soit $u$ linéaire conservant les normes. Pour $x,y\in E$, la linéarité donne $u(x)+u(y)=u(x+y)$, donc $$⟨u(x),u(y)⟩=\frac{1}{2}\left({\Vert u(x)+u(y)\Vert }^2-{\Vert u(x)\Vert }^2-{\Vert u(y)\Vert }^2\right)=\frac{1}{2}\left({\Vert u(x+y)\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right)=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right),$$ c'est-à-dire $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,y⟩$. C'est la linéarité qui a permis de remplacer $u(x)+u(y)$ par $u(x+y)$ — retenons-le, c'est exactement ce dont le b) va se passer.

b) La linéarité est automatique. Supposons $⟨f(x),f(y)⟩=⟨x,y⟩$ pour tous $x,y$. En particulier, avec $y=x$, $\Vert f(x){\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2$ : $f$ conserve aussi les normes.

Fixons $\lambda \in \mathbb{R}$ et $x,y\in E$, et posons $$v=f(\lambda x+y)-\lambda f(x)-f(y).$$ Développons $\Vert v{\Vert }^2$ par bilinéarité — six termes : $$\Vert v{\Vert }^2={\Vert f(\lambda x+y)\Vert }^2+{\lambda }^2{\Vert f(x)\Vert }^2+{\Vert f(y)\Vert }^2-2\lambda ⟨f(\lambda x+y),f(x)⟩-2⟨f(\lambda x+y),f(y)⟩+2\lambda ⟨f(x),f(y)⟩.$$ Chacun de ces six termes se transporte : $f$ conserve le produit scalaire, donc on peut effacer partout la lettre $f$ : $$\Vert v{\Vert }^2={\Vert \lambda x+y\Vert }^2+{\lambda }^2\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-2\lambda ⟨\lambda x+y,x⟩-2⟨\lambda x+y,y⟩+2\lambda ⟨x,y⟩.$$ Développons les trois expressions restantes : $${\Vert \lambda x+y\Vert }^2={\lambda }^2\Vert x{\Vert }^2+2\lambda ⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2,⟨\lambda x+y,x⟩=\lambda \Vert x{\Vert }^2+⟨x,y⟩,⟨\lambda x+y,y⟩=\lambda ⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2.$$ En reportant et en regroupant :

• coefficient de ${\lambda }^2\Vert x{\Vert }^2$ : $1+1-2=0$ ;
• coefficient de $\Vert y{\Vert }^2$ : $1+1-2=0$ ;
• coefficient de $\lambda ⟨x,y⟩$ : $2-2-2+2=0$.

Donc $\Vert v{\Vert }^2=0$, c'est-à-dire $v=0$ : $$f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y)\text{pour tous }\lambda ,x,y.$$ $f$ est linéaire.

c) $f$ est une isométrie. Étant linéaire et conservant les normes, $f$ est une isométrie vectorielle ; elle est injective (si $f(x)=0$ alors $\Vert x\Vert =\Vert f(x)\Vert =0$), donc bijective en dimension finie. Ainsi $f\in \mathrm{O}(E)$.

d) Non, et c'est le point de l'exercice. Conserver les normes ne suffit pas à entraîner la linéarité. Prenons $E={\mathbb{R}}^2$ et $$f(x)=\Vert x\Vert e_1,$$ où $e_1$ est un vecteur unitaire fixé. Alors $\Vert f(x)\Vert =\Vert x\Vert \Vert e_1\Vert =\Vert x\Vert$ : $f$ conserve les normes. Mais elle n'est pas linéaire : $f\left(e_1\right)+f\left(-e_1\right)=e_1+e_1=2e_1$, alors que $f\left(e_1+\left(-e_1\right)\right)=f(0)=0$. (Elle ne conserve d'ailleurs pas le produit scalaire : $⟨f(e_1),f(-e_1)⟩=1$ alors que $⟨e_1,-e_1⟩=-1$.)

e) La conclusion sur la définition du cours. Le cours définit une isométrie vectorielle par la conservation des normes et précise « par définition, une isométrie vectorielle est linéaire ». Le d) montre que cette précision n'est pas redondante : sans elle, la classe serait trop large. En revanche, le b) montre qu'elle le serait si l'on définissait les isométries par la conservation du produit scalaire — là, la linéarité est gratuite. Les deux caractérisations du cours, équivalentes pour des applications linéaires, ne le sont plus si l'on retire la linéarité.

Ce que l'exercice installe. Le geste « pour montrer qu'un vecteur est nul, calculer sa norme au carré » est l'un des plus utilisés en euclidien : on le retrouvera pour l'unicité de la projection orthogonale, pour les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Bessel, et à l'exercice 7 de cette séance. Et retenez la vigilance de fond : une hypothèse apparemment anodine (« linéaire ») peut être indispensable ou superflue selon l'autre hypothèse — il faut savoir laquelle.