Polarisation, et la linéarité automatique

La stratégie, et les outils. L'identité de polarisation, $⟨x,y⟩=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right)$, relie normes et produit scalaire dans les deux sens. Le b) est l'exercice proprement dit : pour montrer qu'un vecteur est nul, on calcule sa norme au carré, et tout se simplifie parce que chacun des produits scalaires apparus se transporte par $f$.

a) Le sens facile. Soit $u$ linéaire conservant les normes. Pour $x,y\in E$, la linéarité donne $u(x)+u(y)=u(x+y)$, donc $$⟨u(x),u(y)⟩=\frac{1}{2}\left({\Vert u(x)+u(y)\Vert }^2-{\Vert u(x)\Vert }^2-{\Vert u(y)\Vert }^2\right)=\frac{1}{2}\left({\Vert u(x+y)\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right)=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right),$$ c'est-à-dire $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,y⟩$. C'est la linéarité qui a permis de remplacer $u(x)+u(y)$ par $u(x+y)$ — retenons-le, c'est exactement ce dont le b) va se passer.