Problème — La décomposition polaire : $M=\Omega S$

On travaille dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

1) Montrer que pour toute $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $M^{\top }M\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, et que $M^{\top }M\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $M$ est inversible.

2) Soit $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ avec $B^2=S$, que $B$ est un polynôme en $S$, et que $B$ est unique.

3) Soit $M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$. Poser $S=\sqrt{M^{\top }M}$ et $\Omega =M{S}^{-1}$ ; vérifier ${\Omega }^{\top }\Omega =I_n$, et conclure $M=\Omega S$ avec $\Omega \in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ et $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.

4) Montrer l'unicité du couple $(\Omega ,S)$.

5) Lectures et contrôles : que vaut $S$ si $M$ est orthogonale ? si $M\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ ? Vérifier $\left|\det M\right|=\det S$.

6) Décomposer $M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, interpréter géométriquement, et énoncer le théorème obtenu.