Rayleigh : la plus grande valeur propre est sous-additive

La stratégie, et les outils. Toute la force de l'exercice est dans le changement de point de vue de la question b) : une question spectrale devient une question variationnelle, « maximiser une fonction sur la sphère ». La suite est immédiate, parce qu'un maximum de somme se majore terme à terme — ce qu'un spectre ne sait pas faire.

a) Le quotient de Rayleigh. Le théorème spectral fournit une base orthonormée $\left(e_1,\dots ,e_n\right)$ de vecteurs propres, $A{e}_i={\lambda }_i{e}_i$. Écrivons $X={\sum }_i{x}_i{e}_i$. Alors, la base étant orthonormée, $$X^{\top }AX=⟨AX,X⟩=⟨\sum _i{\lambda }_i{x}_i{e}_i,\sum _j{x}_j{e}_j⟩=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i^2,X^{\top }X=\sum _{i=1}^n{x}_i^2.$$ En majorant chaque ${\lambda }_i$ par ${\lambda }_{\max }$ et en le minorant par ${\lambda }_{\min }$ dans la première somme : $${\lambda }_{\min }\sum _i{x}_i^2\le \sum _i{\lambda }_i{x}_i^2\le {\lambda }_{\max }\sum _i{x}_i^2,$$ et l'on divise par ${\sum }_i{x}_i^2=\Vert X{\Vert }^2>0$.

b) Le maximum est atteint. Pour $\Vert X\Vert =1$, le a) donne $X^{\top }AX\le {\lambda }_{\max }$. Et la borne est atteinte en $X=e_n$, vecteur propre unitaire associé à ${\lambda }_{\max }$ : $$e_n^{\top }A{e}_n=e_n^{\top }\left({\lambda }_n{e}_n\right)={\lambda }_n{\Vert e_n\Vert }^2={\lambda }_{\max }.$$ Donc $\underset{\Vert X\Vert =1}{\max }{X}^{\top }AX={\lambda }_{\max }(A)$, et c'est bien un maximum, non un simple borne supérieure. (L'existence du maximum était aussi garantie a priori par la compacité de la sphère unité en dimension finie ; mais ici le point où il est atteint est explicite, ce qui est mieux.)

c) La sous-additivité. Soient $A,B\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. La somme $A+B$ est symétrique, ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ étant un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ : le b) s'applique donc aussi à $A+B$. Pour tout $X$ de norme $1$, $$X^{\top }(A+B)X=X^{\top }AX+X^{\top }BX\le {\lambda }_{\max }(A)+{\lambda }_{\max }(B),$$ chacun des deux termes étant majoré par le b). Le membre de droite ne dépend plus de $X$ : c'est un majorant de l'ensemble $\left\{X^{\top }(A+B)X:\Vert X\Vert =1\right\}$, donc il majore son maximum : $${\lambda }_{\max }(A+B)\le {\lambda }_{\max }(A)+{\lambda }_{\max }(B).$$

Pourquoi c'est un vrai théorème. Spectralement, l'énoncé n'a rien d'évident : $A$ et $B$ n'ont aucune raison de partager leurs vecteurs propres, et il n'existe aucune formule donnant $\mathrm{Sp}(A+B)$ à partir de $\mathrm{Sp}(A)$ et $\mathrm{Sp}(B)$. C'est la caractérisation variationnelle qui rend la démonstration immédiate.

d) Les deux cas se produisent.

Égalité, lorsque $A$ et $B$ partagent un vecteur propre unitaire réalisant les deux maxima. Prenons $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, de spectre $\{1,3\}$, et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 0\end{array}\right)$, de spectre $\{-3,3\}$ : toutes deux admettent $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ comme vecteur propre dominant, de valeur propre $3$. Et $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 2\end{array}\right)$ a pour spectre $\{-2,6\}$, donc ${\lambda }_{\max }(A+B)=6=3+3$ : l'inégalité est une égalité. (Contrôle : $\mathrm{tr}(A+B)=4=6-2$ et $\det (A+B)=4-16=-12=6\times (-2)$ ✓.)

Inégalité stricte, dans le cas contraire. Prenons $A=\mathrm{diag}(1,0)$ et $B=\mathrm{diag}(0,1)$, de vecteurs propres dominants $e_1$ et $e_2$, orthogonaux. On a ${\lambda }_{\max }(A)={\lambda }_{\max }(B)=1$, tandis que $A+B=I_2$ et ${\lambda }_{\max }\left(I_2\right)=1<2$.

e) Le pendant en ${\lambda }_{\min }$. Pour toute $M\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, les valeurs propres de $-M$ sont les opposées de celles de $M$, donc ${\lambda }_{\min }(M)=-{\lambda }_{\max }(-M)$. En appliquant le c) à $-A$ et $-B$ : $$-{\lambda }_{\min }(A+B)={\lambda }_{\max }(-A-B)\le {\lambda }_{\max }(-A)+{\lambda }_{\max }(-B)=-{\lambda }_{\min }(A)-{\lambda }_{\min }(B),$$ d'où, en changeant de signe, $${\lambda }_{\min }(A+B)\ge {\lambda }_{\min }(A)+{\lambda }_{\min }(B).$$

Conséquence. Si $A,B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, la caractérisation spectrale du cours donne ${\lambda }_{\min }(A)>0$ et ${\lambda }_{\min }(B)>0$, donc ${\lambda }_{\min }(A+B)>0$ : $A+B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. (Le même argument, avec des combinaisons $tA+(1-t)B$, $t\in [0,1]$, montre que ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ est une partie convexe de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ — on y reviendra au chapitre de topologie.)

Ce que l'exercice installe. Une valeur propre extrême d'une matrice symétrique est un maximum, donc un objet analytique : elle hérite de toutes les propriétés des maxima — sous-additivité, monotonie, continuité. Retenez la manœuvre : quand un objet spectral résiste, on cherche à l'écrire comme un extremum, et les propriétés des extrema font le reste. C'est le point de départ des méthodes numériques de calcul spectral, qui ne calculent jamais un polynôme caractéristique mais maximisent une forme quadratique.