Vérifier une matrice orthogonale

Les colonnes sont $\frac{1}{3}(2,1,2)$, $\frac{1}{3}(-2,2,1)$, $\frac{1}{3}(1,2,-2)$ : chacune de norme $\frac{\sqrt{4+1+4}}{3}=1$, et les produits scalaires croisés valent $\frac{-4+2+2}{9}=0$, $\frac{2+2-4}{9}=0$, $\frac{-2+4-2}{9}=0$ : famille orthonormée — $A\in {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$.

Déterminant : $\det A=\frac{1}{27}\det \left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 1& -2\end{array}\right)=\frac{1}{27}(2(-4-2)+2(-2-4)+1(1-4))=\frac{-27}{27}=-1$ : indirecte (une « anti-rotation » : composée d'une rotation et d'une réflexion).